Lösung eines Gleichungssystems mit Parametern (Trinomialmodell)

Question

Ich versuche gerade ein Trinomialmodell zu basteln. Ich habe die Parameter pu, pm, pd, u, m, d und dazu folgendes Gleichungssystem bestimmt, das ich allerdings mit meinen Mathekenntnissen nicht gelöst bekomme:

1. pu • u+ pm • m + pd • d = e^(r • t)

2. pu•u²+pm•m²+pd•d²=sigma²*t + r•t^²

3. 1 = pu + pm + pd

4. u=1 ÷ d

5. u = sigma •(2•t)^1÷2   

6. m = 1

Ich habe also 6 Gleichungen mit 6 Parametern, sollte also eine eindeutige Lösung finden können für pu und pd in Abhängigkeit von t, r, sigma.

Problem ist nur, dass ich das Gleichungssystem mit meinen Mathekenntnissen nicht auflösen kann. Gibt es Onlinerechner die so etwas bewerkstelligt kriegen?

Durch einsetzen der bekannten Größen komme ich bis zu den Gleichungen

pu = (e^r•t - pd •(u^-1-1 ) -1 ) ÷(u-1)

pu = sigma^{2 •} t + (r • t)² -pd • (u^-2-1)-1) ÷ (u²-1)

t ist eigentlich delta t, aber das sollte an dieser Stelle keinen Unterschied machen. :)

An dieser Stelle bin ich aufgeschmissen. An sich einsetzen, umformen, fertig oder fehlt mir doch etwas weshalb das nicht aufgehen kann?

Answer 1

pu = (e^r•t - pd •(u^-1-1 ) -1 ) ÷(u-1)

pu = ( sigma^{2 •} t + (r • t)² -pd • (u^-2-1)-1) ÷ (u²-1)

beide rechte Seiten gleichsetzen:

(e^{r·t} - p_d·(u^{-1} - 1) - 1) / (u - 1) = (s^2·t + (r·t)^2 - pd·(u^{-2} - 1) - 1) / (u^2 - 1)

Gleichung mit u^2-1 multiplizieren, u-1 wegkürzen, links ausmultiplizieren, Summanden mit p_d nach links bringen, Rest nach rechts, p_d ausklammern und durch Klammer kürzen:

→ p_d =  - u^2·(e^{r·t}·(u + 1) - r^2·t^2 - s^2·t - u) / ((u + 1)·(u - 1)^2)

p_d in eine der Ausgangsgleichungen einsetzen

→ p_u = (e^{r·t}·(u + 1) - r^2·t^2·u - s^2·t·u - 1) / ((1 - u)·(u^2 - 1) 

Gruß Wolfgang