Beschränktes Polynom auf R

Question

Gibt es mindestens ein Polynom p(x), dessen Ableitung auf ganz R beschränkt aber nicht konstant ist?

Ich würde sagen ja mit dem Beispiel x^4+3x^6. Die Ableitung wäre 4x^3 + 18x^5. Das ist ja keine Konstante und es kann jede Zahl in R annehmen. Stimmt das so?

Answer 1

nein, das Polynom \( p'(x) = 4x^3 +18x^5 \) ist leider nicht beschränkt, da es, wie du erwähnt hast, jede Zahl in \( \mathbb{R} \) annehmen kann. Wenn es beidseitig beschränkt wäre, so gäbe es eine Zahl \( c \in \mathbb{R} \), sodass \( |p'(x)| < c \) für alle \( x \in \mathbb{R} \).

Die einzigen auf \( \mathbb{R} \) beschränkten Polynomfunktionen sind die konstanten Polynome \( p'(x) = a \) (mit \( a \in \mathbb{R} \)).

Schwächt man die Bedingung ab, sodass die Ableitung von \( p(x) \) nur nach oben oder nach unten beschränkt sein soll, so hat man durch \( p(x) = x^3 \) oder \( p(x) = - x^3 \) ein Polynom gefunden, dessen Ableitung \( p'(x) = 3x^2 \) oder \( p'(x) = -3x^2 \) nach unten oder nach oben beschränkt ist.

Mister

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Danke für die Antwort. Hat mir sehr geholfen!