Beweise : Das Produkt 2er Spiegelungen ist eine Drehung

Question

hat jemand zufällig den beweis oder tipps?
danke :D

Answer 1

1. Die beiden Spiegelungen sollten Geradenspiegelungen sein.

2. Die beiden Spiegelungsachsen dürfen nicht parallel sein, wenn sie nicht identisch sind.

Der Schnittpunkt der beiden Spiegelungsachsen ist Fixpunkt des Produkts und daher Zentrum der Drehung.

Das Produkt der beiden Spiegelungen ist längentreu, winkeltreu und erhält ausserdem die Orientierung der Figuren. Schau mal nach, ob dir das genügt um zu zeigen, dass eine Drehung vorliegt.

Schau auch mal noch hier, wenn du das rechnerisch zeigen möchtest: https://www.mathelounge.de/62587/zeigen-sie-dass-produkt-zweier-spiegelungen-eine-drehung-ist

Answer 2

Wenn du es elementar beweisen willst ( musst), geht es auch.

Nimm an die Spiegelachsen schneiden sich im Ursprung.

( wenn nicht musst vorher und nachher je eine Verschiebung des

Schnittpunktes zum Ursprung und zurück machen.

Die erste Spiegelachse hat mit der pos. x-Achse den Winkel alpha und

die zweite mit der pos. x-Achse den Winkel beta.

Abgebildet wird der Punkt P, der durch den Ortsvektor OP bestimmt ist.

Und OP hat mit der pos. x-Achse den Winkel gamma.

Zeichne mal eine Skizze und du siehst:

Dann hat OP '  mit der pos. x-Achse den Winkel 2 alpha - gamma.

und es hat OP ' '  mit der pos. x-Achse den Winkel 2 beta - 2 alpha + gamma.

Also hat der Winkel von OA bis OA ' ' um  2 beta - 2 alpha egal, wo der Punkt A

voher liegt.  Außerdem sind die Längen von OA, OA ' und OA ' ' alle

gleich, damit ist die Hintereinanderausführung der Spiegelungen

eine Drehung um  2 beta - 2 alpha.