Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen

Question

ich habe eine Bitte. Kann mir bitte einer folgende Aufgaben vorrechnen, aber bitte mit Zwischenschritten, weil ich noch diverse andere Aufgaben mit der selben Aufgabenstellung habe? Ich werde dann nach diesem Prinzip vorgehen und die anderen Aufgaben lösen. Dann werde ich sie hier posten und euch fragen, ob ich richtig gerechnet habe.

Vielen Dank schonmal im Voraus.

Answer 1

Ein Kriterium ist ja das Quotientenkriterium. s. etwa

https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius

Da betrachtest du  | a_n / a_n+1 |

bei der 2. Aufg. etwa

( 2i über i ) /  ( 2(i+1) über (i+1) )

Betrag hier egal, da alles positiv

=  (2i) !  /  ( i! * (2i-i)! )      /      ( 2i+2)! /  (( i+1)! * ( 2i+2-i-1) !  )

=  (2i) !  *  (( i+1)! * ( 2i+2-i-1) !  )    /    ( i! * i! )    * ( 2i+2)! 

=    (2i) !  *  ( i+1)! * ( i+1) !    /    ( i! * i!     * ( 2i+2)!  )

=    (2i) !  *  ( i+1) * ( i+1)      /     ( 2i+2)! 

=        ( i+1) * ( i+1)      /   ( 2i+1)*(2i+2)  )

Das hat für i gegen unendlich den GW 1/4  .

Also Konv.radius = 1/4 .