Flugleiteinrichtung: Punkte ermitteln, an denen die Maschine in den Wirkungsbereich der Station einfliegt

Question

Eine Flugleiteinrichtung hat in einem kartesischen Koordinatensystem mit der Einheit km die Koordinaten F(0|10|0). Der Wirkungsradius der Flugleitrichtung beträgt 60 km.

1. Ermitteln Sie die Punkte R und S, an denen die Maschine in den Wirkungsbereich der Station einfliegt und ihn wieder verlässt. 

2. Wie lange kann das Flugzeug auf seinem Kurs begleitet werden, wenn seine Geschwindigkeit v = 500 km/h beträgt? 

Bei der vorherigen Aufgabe hatte ich schon zwei Punkte gegeben P und Q. Haben die noch Einfluss auf die nächste Aufgabe? Was muss ich bei den Aufgaben tun?

Dazugehörig:
https://www.mathelounge.de/358618
https://www.mathelounge.de/358668

Answer 1

Annahme die Koordinaten sind in km gegeben.

Kugelgleichung aufstellen

x^2 + (y - 10)^2 + z^2 = 60^2

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Die erste Aufgabe lautet: ermitteln Sie die Punkte R und S, an denen die Maschine in den Wirkungsbereich der Station einfliegt und ihn wieder verlässt. 

Setzte die Geradengleichung in die Kugelgleichung ein.

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Die zweite Aufgabe lautet : wie lange kann das Flugzeug auf seinem Kurs begleitet werden, wenn seine Geschwindigkeit v= 500km/h beträgt ? 

Bestimme die Entfernung der Schnittpunkte mit der Kugel und bestimme so die Zeit die das Flugzeug im Überwachungsbereich ist.

Comments

Danke, das war die genaue Aufgabenstellung, die ich bekommen habe. Deshalb bin ich gerade verwirrt wegen der geradengleichung.. Weil ich bei mir keine stehen hab

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Ein Flugzeug fliegt vom Punkt t Q (20/-40/40) nach P (60/20/0). Ermitteln Sie den Kurs

X = [20, -40, 40] + r * [40, 60, -40] = [40·r + 20, 60·r - 40, 40 - 40·r]

Das in die Kugel einsetzen

(40·r + 20)^2 + ((60·r - 40) - 10)^2 + (40 - 40·r)^2 = 60^2 --> r1 = 0.1346410264 ∨ r2 = 0.9830060324

r2 - r1 = 0.8483650059

0.8483650059 * |[40, 60, -40]| = 69.96 km

69.96 km / (500 km/h) = 0.1399 h = 8.395 min

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Das war ja jetzt die letzte Aufgabe und die Punkte r und s ? Welche sind das

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Na, setze r1 und r2 doch einfach in die Geradengleichung ein.

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Ok ich hab doch noch eine Frage und zwar versteh ich deine Rechnung nicht ganz.. Wie bist du auf r1 und r2 gekommen ? Und was hast du da jetzt genau gemacht ? Du hast als erstes Q genommen und r addiert und den Kurs dazu gerechnet, aber wozu ? Um die Strecke rauszukriegen oder warum ? Weil Q ist ja der Anfangspunkt

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Ich habe zuerst die Gerade des Flugzeugs aufgestellt über die Punkte.

X = [20, -40, 40] + r * [40, 60, -40]

Das habe ich nur zusammengefasst zu einem Vektor

X = [40·r + 20, 60·r - 40, 40 - 40·r]

und das habe ich jetzt in die Kugelgleichung eingesetzt

(40·r + 20)² + ((60·r - 40) - 10)² + (40 - 40·r)² = 60²

Jetzt hast du eine quadratische Gleichung, die du nach r auflösen kannst.