Aufgabe:
Sei \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) stetig differenzierbar und \( f: \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) gegeben durch
\( f(x, y)=\left(\frac{y^{3}}{x^{4}+y^{4}}+y g\left(x y+y^{2}\right),-\frac{x y^{2}}{x^{4}+y^{4}}+(x+2 y) g\left(x y+y^{2}\right)\right) . \)
Prüfen Sie, ob \( f \) in den folgenden Gebieten eine Stammfunktion besitzt und bestimmen Sie eine solche gegebenenfalls:
a) \( \mathcal{G}_{1}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x>0\right\} \)
b) \( \mathcal{G}_{2}=\mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\} \).
