Besitzt F auf den folgenden Gebieten ein Potential?

Question

Aufgabe:

Sei \( g \in C(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \) und sei \( F: \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) definiert durch
\( F(x, y)=\left(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}+y g(x y), \frac{-x}{x^{2}+y^{2}}+x g(x y)\right), \quad(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\} . \)
Besitzt \( F \) auf den folgenden Gebieten ein Potential? Bestimmen Sie dieses.
(i) \( \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2}<2 x\right\} \)
(iii) \( \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\} \)
(ii) \( \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2}<2 y\right\} \)

Problem/Ansatz:

Finde keine Lösung/Ansatz

Answer 1

Hallo,

auf Deine andere Frage wurde Dir ja schon gezeigt, wie man grundsätzlich Potentiale bestimmen kann.

Wenn wir das hier mal machen und die erste Komponente des Feldes nach x integrieren, dann benutzen wir eine Stammfunktion G von g und erhalten

$$P(x,y)=\arctan(\frac{x}{y})+G(xy)$$

und man rechnet nach, dass \(\nabla P=F\). Allerdings bleibt noch das Problem, dass P für y=0 nicht definiert ist.

Zu (ii) Wir haben
$$x^2+y^2<2y \iff x^2+(y-1)^2<1$$

Also handelt es sich um das Innere des Kreises um (0,1) mit Radius 1. Dort ist y>0 und P ist ein Potential.

Zu (i) Hier handelt es sich um das Innere des Kreises um (1,0) mit Radius 1. Es gilt dort:

$$\lim_{y \to 0+}\arctan(\frac{x}{y})=0.5 \pi, \qquad \lim_{y \to 0-}\arctan(\frac{x}{y})=-0.5 \pi$$

Mit dieser Information basteln wir uns ein Potential:

$$Q(x,y):=P(x,y)-0.5 \pi \text{ für }y>0 \qquad Q(x,y):=P(x,y)+0.5 \pi \text{ für } y<0$$

mit stetiger Ergänzung durch 0 für y=0.

Zu (iii) Die Funktion Q definiert tatsächlich ein Potential auf ganz \(\mathbb{R}^2\) ohne die "negative x-Achse". Denn dort ist Q unstetig, weil sich die o.g. Grenzwerte für negatives x gerade umkehren. Für (iii) existiert daher kein Potential.

Gruß Mathhilf

Answer 2

a) überprüfen ob rot(F)=0

wenn ja F1=dV/dx

F2=dV/dy

lul