Untersuchen Sie, ob g(x) eine Stammfunktion besitzt.

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob die folgende Funktion g : [-1; 1] →ℝ eine Stammfunktion
besitzt und falls ja, bestimmen Sie alle Stammfunktionen.

g(x) = { 0   , -1 ≤ x < 0

          1    , 0 ≤ x ≤ 1

Problem/Ansatz:

Comments

Warum löst Du das nicht genauso wie bei Deiner vorherigen Frage?

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Vielen lieben Dank für deinen Kommentar und dem Hinweis.^^

Im Vergleich zu meiner vorherigen Frage, wusste ich, dass die Funktion eine Stammfunktion besitzt, da sie stetig ist. Mit Ausnahme der Stelle x = 0 ist die Funktion ja überall stetig. Sie hat aber einen Sprung an der Stelle x = 0. Daher fehlt mir irgendwie der Teil, um zu beweisen, dass die Funktion eine Stammfunktion besitzt.

Ich würde mich sehr freuen, falls du mir da irgendwie weiterhelfen kannst.^^

Answer 1

Was hältst du von diesem Vorschlag?

G(x) = {c, -1 ≤ x < 0
            x + c, 0 ≤ x ≤ 1.

Comments

Vielen Dank schon mal für deine Antwort.^^

Wenn ich es richtig verstehe, hast du für die Funktion schon die Stammfunktionen aufgeschrieben.

Woher weiss ich denn, dass die Funktion eine Stammfunktion besitzt? Die Funktion ist ja nicht stetig, denn sie hat doch einen Sprung an der Stelle x=0?

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Es hängt an der Definition von Stammfunktion. Was ist eine Stammfunktion?

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Unter einer Stammfunktion einer reellen Funktion f versteht man eine differenzierbare Funktion F, deren Ableitungsfunktion F' mit f übereinstimmt. Ist also f auf einem Intervall I definiert, so muss F auf I definiert und differenzierbar sein, und es muss für jede Zahl x aus I gelten: F'(x)=f(x)

Weiterhin gilt:

Jede auf einem Intervall stetige Funktion besitzt eine Stammfunktion

Ist f auf I integrierbar, aber nicht überall stetig, dann existiert zwar die Integralfunktion, sie braucht jedoch an den Stellen, an denen f nicht stetig ist, nicht differenzierbar zu sein, ist also im Allgemeinen keine Stammfunktion.

Notwendig für die Existenz einer Stammfunktion ist, dass die Funktion den Zwischenwertsatz erfüllt. Dies folgt aus dem Zwischenwertsatz für Ableitungen.

Laut wikipedia.

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Damit ist ja alles erläutert: Der einzige Kandidat für eine Stammfunktion, wie von Mathecoach angegeben, ist im Nullpunkt nicht differenzierbar, also keine Stammfunktion.