Zeigen Sie: Wenn f eine Stammfunktion besitzt, dann haben alle Pole von f mindestens die Ordnung 2 .

Question

Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen? Danke!

Sei \( U \subseteq \mathbb{C} \) offen und sei \( f \) meromorph in \( U \). Zeigen Sie: Wenn \( f \) eine Stammfunktion besitzt, dann haben alle Pole von \( f \) mindestens die Ordnung \( 2 . \)
Hinweis: Wie sehen die Laurentreihen in den Polen aus?

Comments

Mein Ansatz wäre:

Wenn f eine Stammfunktion besitzt existiert eine Funktion F mit F'=f

Angenommen f hat einen Pol der Ordnung 1 in z0 dann kann man f lokal schreiben als f(z)=g(z)/(z-z0) mit holomorphem g und g(z0)≠0

Wenn man dann f über einen kleinen Kreis um die Polstelle integriert stellt man folgendes fest:

Wegen der Stammfunktion ist das geschlossene Kurvenintegral = 0

Wegen der Cauchy Integralformel ist das Integral gerade

g(z0)*2πi ≠ 0

Widerspruch.

Answer 1

Hallo,

wenn v ein Pol von f ist, dann ist für die Behauptung nur auszuschließen, dass die Ordnung gleich 1 ist.

Wenn die Ordnung gleich 1 wäre, dann sei F eine Stammfunktion für f in \(B(v,r)\setminus\{v\}\) (kleine Umgebung von v). Dort gilt:

$$f(z)=\frac{c}{z-v}+h(z)$$

mit einer in \(B(v,r)\) holomorphen Funktion h (Nebenteil der Laurent-Entwicklung). Also hat

$$\frac{c}{z-v}=f(z)-h(z)$$

Also hat \(\frac{c}{z-v}\) eine Stammfunktion in \(B(v,r)\setminus\{v\}\). Das ist ein Widerspruch, weil zum Beispiel ein Kreisintegral über \(\frac{c}{z-v}\) (um den Punkt v) nicht 0 ist.

Gruß Mathhilf