beziehungen zwischen arcusfunktionen

Question

kann mir mal jemand erklären wie man auf sin(φ)=√1-x² kommt?

Answer 1

im wenn du das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis betrachtest, hat die Hypotenuse die Länge 1. Der Sinus ist die Seite parallel zur y-Achse und der Cosinus die Seite auf der x-Achse.

Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras,hier also 1=sin^2(φ)+cos^2(φ)

Umstellen und Wurzel ziehen gibt dann

Sin(φ)=sqrt(1-cos^2(φ))

Comments

Und cos(x) wird dann durch x ersetzt?

---

Ja, da x in der Skizze genau cos(φ) entspricht (Ankathete zum Winkel φ)

---

Alles klar.

Dem Einheitskreis sei Dank kann man hier wohl sagen :D

---

Und wie kommt man auf die Beziehung

arccos(x)=arcsin(√1-x² )

---

arccos(x)=arccos(cos(φ))=φ=arcsin(sin(φ))=

arcsin(sqrt(1-cos^2(φ)))=arcsin(sqrt(1-x^2))