Analysis Dreiecksungleichung um 1/x +1/I1-xI > 0 zu lösen?

Question

Ich hab die Aufgabe alle x ∈ ℝ zu bestimmen für die gilt: 1/x +1/I1-xI > 0.

Ich habe versucht den Term mit Hilfe der Dreiecksungleichung umzuformen und komme dann auf:

1+ IxI + x ≥ I1-xI +x > 0. Dann habe ich minus x und mal minus eins multipliziert und bekomme das Ergebnis

-I1-xI< x . Das geht halt nur unter der Annahme das die Ungleichung durch das multiplizieren mit -1 ihre Richtung ändert. Stimmt das Ergebnis? Bzw. kann ich nicht gleich aus der Angabe schließen das x immer positiv sein muss?

Comments

Löse das besser ganz normal auf und mach Fallunterscheidungen. Die Dreiecksungleichung bringt dich da eher nicht zur Lösungsmenge.

Answer 1

Der Graph sieht so aus:

~plot~ 1/x+1/abs(1-x); [[-5|5 |-20|20]] ~plot~

Also ist die Ungl. für alle x>0 erfüllt außer für x=1 .

Rechnerisch würde ich das per Fallunterscheidung nachweisen.

etwa so:  

1.Fal  x >1    da ist  sind der Summe 1/x +1/I1-xI

beide Summanden positiv, also auch die Summe.

Damit gilt die Ungl. schon mal für alle x>1.

1. Fall   Für x=1   nicht definiert

2. Fall    Für 0 < x < 1  wie bei 1. zwei pos. Summanden, also

Ungl. erfüllt.

3. Fall    Für   x<0   ist   1-x > 0 also  |  1-x |   =1 - x  also wird die Ungl. zu

1/x   + 1/ (1-x)  > 0            multiplik. mit x *(1-x) ändert das Zeichen

                                             da das Prod. wegen x<0 negativ ist.

1-x  +   x     < 0

                 1 < 0     falsch, also Ungl. nicht erfüllt    

4. Fall:   x≤-2

 

1/x +1/I1-xI > 0.

Comments

Danke das hat mir sehr geholfen. Nur eine kleine Frage: ist es nicht auch zulässig wenn ich statt x>1 und 0<x<1 gleich sage das x>0 sein muss? Damit wären doch beide Bedienungen erfüllt.

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Aber du musst jedenfalls x=1 ausschließen, dort ist es nicht def.

Und siehe Kommentar von Georg.

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x>1 und 0<x<1 gleich sage das x>0 sein muss? Damit wären doch
beide Bedienungen erfüllt.

Nein.

für  0<x<1 gilt
( 1 - x  ) ist positiv : | 1 - x | wird ersetzt durch  ( 1 - x )

für x > 1 gilt
( 1 - x  ) ist negativ : | 1 - x | wird ersetzt durch  ( 1 - x ) * ( -1 )

mfg Georg

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Achso ok danke. Das war klar verständlich.

Answer 2

Hier die Rechnungen

Die Gleichung wurde umgeformt.

Weil auch Multiplikationen vorkommen muß unterschieden
werden wenn  x positiv oder negativ ist und wenn der Term
im Betrag positiv oder negativ ist

Eingetragen auf dem Zahlenstrahl ergeben sich 3 Bereiche

im 3.Fall kommt heraus

x > 1 ( Eingangsvoraussetzung ) und x > 1/2

also x > 1

Zusammen mit Fall 2 ergibt sich
0 < x < 1  und x > 1
also
x > 0 ohne die { 1 }

Der Graph von mathef zeigt dies.

mfg 

Comments

Deine Nachfrage bei mathef:

Nochmals die Vorgehensweise :

Schau dir an wo die kritischen Stellen in einer Funktion sind :
- Vorzeichenwechsel des Terms in Betragsstrichen
( wann ist der Term 0 )
oder
- bei x = 0

Es ergeben sich zwei Stellen ( x = 1 ) und ( x = 0 )

Trage die Stellen auf einem Zahlenstrahl auf.
Es ergeben sich Bereiche.
Für jeden dieser Bereiche führst du den Nachweis durch.

Answer 3

ohne Bezug auf den Graph:

Die Ungleichung hat die Definitionsmenge D = ℝ \ {0;1}

Da das Argument des Betrags in D keine Nullstelle hat, ergeben sich die Fälle:

x < 0 , 0<x<1 und x>1

                                    0                  1

1-x                     +                 +                  -

|1-x|                  1-x             1-x              x-1                 [#]

und für die betragsfreie Schreibweise:

Fall 1:  x < 1

\(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{1-x}\) > 0 ⇔_D  \(\frac{1-x + x}{x·(1-x)}\) > 0   ⇔ \(\frac{1}{x·(1-x)}\) > 0 ⇔ 0<x<1

Fall 2: x > 1

\(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{x-1}\) > 0 ⇔_D  \(\frac{x-1 + x}{x·(x-1)}\) > 0   ⇔ \(\frac{2x-1}{x·(x-1)}\) > 0 ⇔ x>1

→  L = ] 0 ; ∞ [  \  {1}

[#]  da der Term \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{|1-x|}\) offensichtlich keine Nullstellen hat, ergibt sich diese Lösungsmenge nach dem Nullstellensatz auch einfach durch Einsetzen von beliebigen Werten in die Intervalle ] -∞ ; 0 [ , ] 0 ; 1 [ und ] 1 ; ∞ [

Das bestätigt natürlich der Graph des Terms:

Gruß Wolfgang