Dreiecksungleichung Beweis, wo liegt mein Denkfehler

Question

Habe bereits einen Beweis per Fallunterscheidung geführt, wollte aber noch eine alternative Variante ermitteln;

|x+y|<=|x|+|y|

⇔((x+y)^2)^{1/2}<=(x^2)^{1/2}+(y^2)^{1/2}

⇔(x+y) <= x^2 + y^2

Ist der Beweis vollständig?

Answer 1

Wenn du beide Seiten quadrieren wolltest (um anschließend wieder die Wurzel zu ziehen), hätte es heißen müssen (|x+y|)²<=(|x|+|y|)² und dann (x+y)² ≤ x²+2IxIIyI +y² oder x²+2xy+y²≤ x²+2IxIIyI +y². Auf beiden Seiten -x²-y² ergibt: 2xy ≤ 2IxIIyI auf beiden Seiten durch 2 ergibt xy ≤ IxIIyI. Vielleicht ist diese Ungleichung einfacher zu beweisen, als die Dreiecksungleichung.

Answer 2

|x+y|<=|x|+|y|

⇔((x+y)²)^1/2<=(x²)^1/2+(y²)^1/2

⇔(x+y) <= x + y ...