In der Musterlösung einer Aufgabe steht als Zwischenschritt: |(x − 3)(x − 1)| ≤ (4 + δ)δ wobei gelten soll, dass |x − 1| < δ.
Wenn ich die Aufgabe aber selbe rechne komme ich an der Stelle immer wieder auf: |(x − 3)(x − 1)| ≤ (2 + δ)δ.Dazu habe ich die Nulladdition mit +,-2 und dann die Dreiecksungleichung angewendet.
EDIT: Fragestellung / Aufgabe und Lösung:
Sei f(x) = 2x2 + 3x − 4 , wenn x ≥ 1 und f(x)= x2 − 4x + 4 , wenn x < 1. Bestimmen Sie ein δ > 0 mit der Eigenschaft: |f(x) − 1| < 0.1, wenn |x − 1| < δ.
Musterlösung:
Es gilt f(x) − 1 = 2x2 + 3x − 5 = (2x + 5)(x − 1) , wenn x ≥ 1 und f(x) = x2 − 4x + 3 = (x − 3)(x − 1) , wenn x < 1 Ist also δ > 0 beliebig, so wird auf [1, 1 + δ): |2x + 5||x − 1| ≤ (7 + 2δ)δ und auf
(1 − δ, 1]: |(x − 3)(x − 1)| ≤ (4 + δ)δ. Wählen wir also δ := 1\100 , so wird |f(x) − 1| < 0.1.