Zwischenschritt: |(x − 3)(x − 1)| ≤ (4 + δ)δ . Wo ist mein Denkfehler?

Question

In der Musterlösung einer Aufgabe steht als Zwischenschritt: |(x − 3)(x − 1)| ≤ (4 + δ)δ wobei gelten soll, dass  |x − 1| < δ.

Wenn ich die Aufgabe aber selbe rechne komme ich an der Stelle immer wieder auf: |(x − 3)(x − 1)| ≤ (2 + δ)δ.Dazu habe ich die Nulladdition mit +,-2 und dann die Dreiecksungleichung angewendet.

EDIT: Fragestellung / Aufgabe und Lösung:

Sei f(x) =  2x² + 3x − 4 , wenn x ≥ 1 und f(x)= x² − 4x + 4 , wenn x < 1.  Bestimmen Sie ein δ > 0 mit der Eigenschaft: |f(x) − 1| < 0.1, wenn |x − 1| < δ.  

Musterlösung:

Es gilt f(x) − 1 =  2x² + 3x − 5 = (2x + 5)(x − 1) , wenn x ≥ 1 und f(x) = x² − 4x + 3 = (x − 3)(x − 1) , wenn x < 1 Ist also δ > 0 beliebig, so wird auf [1, 1 + δ): |2x + 5||x − 1| ≤ (7 + 2δ)δ  und auf

 (1 − δ, 1]:    |(x − 3)(x − 1)| ≤ (4 + δ)δ.  Wählen wir also δ := 1\100 , so wird |f(x) − 1| < 0.1.

Comments

Was ist denn die Aufgabe?

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Sei f(x) =  2x^2 + 3x − 4 , wenn x ≥ 1 und f(x)= x^2 − 4x + 4 , wenn x < 1.  Bestimmen Sie ein δ > 0 mit der Eigenschaft: |f(x) − 1| < 0.1, wenn |x − 1| < δ. 

Musterlösung:

Es gilt f(x) − 1 =  2x^2 + 3x − 5 = (2x + 5)(x − 1) , wenn x ≥ 1 und f(x) = x^2 − 4x + 3 = (x − 3)(x − 1) , wenn x < 1 Ist also δ > 0 beliebig, so wird auf [1, 1 + δ): |2x + 5||x − 1| ≤ (7 + 2δ)δ  und auf

 (1 − δ, 1]:    |(x − 3)(x − 1)| ≤ (4 + δ)δ.  Wählen wir also δ := 1\100 , so wird |f(x) − 1| < 0.1.

Answer 1

Vielleicht ist da ein Tippfehler in der Musterlösung. Auf dein (2 + δ) komme ich auch und das ist

für pos. δ natürlich kleiner als (4 + δ), womit die Abschätzung aus der Musterlösung

nicht falsch ist, allerdings gefällt mir deine besser.