Ungleichung mit zwei Beträgen (x^2 ≤ |3 − 2|x|| )

Question

Ungleichung mit zwei Beträgen lösen:

\( x^{2} \leq|3-2| x|| \)

Davon soll ich alle Lösungen bestimmen ( x ∈ ℝ). Ich habe zwei Beträge, muss also eine Fallunterscheidung machen...pro Betrag gibt es zwei Fälle, sodass ich in dieser Ungleichung insgesamt 4 Fallunterscheidungen machen muss (?).

Ich weiß nicht so richtig, wie ich anfangen soll, also habe ich die Ungleichung zuerst Null gesetzt:

$$ 0\le \left\lfloor 3-2\left| x \right| \right\rfloor -{ x }^{ 2 } $$

Und jetzt?
1. Fall: x ≥ 0
2. Fall: x <0
für den ersten Betrag (also |x|)

Und 3. Fall: |3 - 2x| ≥ 0 , bzw. 4. Fall |3 - 2x| < 0 ? Ist das so richtig?

Answer 1

kannst du ruhig so lassen   x^2 <= | 3 - 2 |x| |
und da würde ich ganz systematisch vorgehen:
1. Fall x>=0  d.h. die Betragsstriche um das x können weg:
x^2 <= | 3 - 2 x |

um den Betrag aufzuknacken kommt es darauf an, ob 3-2x >=0 ist also  3 >= 2x  also 1,5 >=x
also 1. Unterfall    x>=0  und  x<=1,5   (also sozusagen zwischen 0 und 1,5 )
dann ist die Ungl    x^2 <=  3 - 2 x
                                   x^2 + 2x -3 <= 0
                                 x^2 + 2x +1 -1 - 3 <= 0
                                  (x+1)^2   -4   <= 0
                                    (x+1)^2  <= 4
                        also  -2 <= x+^1    <=   2 
                      also  -3  <=  x    <=   1 
also wegen der Fallvoraussetzung liefert das die Lösungen  [0;1]
    2. Unterfall     x>=0  und  x> 1,5      also einfach nur   x>1,5
dann ist die Ungl    x^2 <=  -3 + 2 x     (betrag aufgelöst ! )
                                  x^2 - 2x  +  3  <= 0
                                x^2 - 2x  +1  -1  +  3  <= 0
                                       (x-1)^2   +  2  <= 0   Das ist aber nicht möglich, da Quadrat niemals negativ.
Also bringt der 2. Unterfall keine neuen Lösungen.
2. Hauptfall:    x<0   dann heißt es  x^2 <= | 3 + 2 x |
1. Unterfall   3+2x >=0 also x >=-1,5    also der Bereich von -1,5 bis 0
                        x^2 <=  3 + 2 x
                       x^2 - 2x -3 <= 0
                   (  x-1)^2  -  4 <= 0
                            (  x-1)^2  <=  4
                   -2   <=  x-1    <=   2
                   -1 <=  x   <=   3   wegen Unterfallvor.  also Lösungen  [-1  ;  0[

2. Unterfall   3+2x <0 also x <-1,5    also  einfach nur x<-1,5
                        x^2 <=  -3 - 2 x
                       x^2 + 2x +3 <= 0
                   (  x+1)^2  +  2 <= 0    also keine weiteren Lösungen,

Insgesamt Lösungsmenge   [0;1]  vereinigt mit   [-1  ;  0[  =   [-1 ; 1 ]

                           
                         

Comments

Danke für die tolle Antwort! :D

Endlich mal eine "Schritt für Schritt" Anleitung und nicht einfach die Lösung hingeklatscht. Habs jetzt verstanden, jetzt muss nur noch die Anwendung klappen.

Answer 2

zu allerst beachte: Es handelt sich um reelle Zahlen. Das ein Quadrat kleiner als Null wird macht also keinen Sinn. Es muss also für die rechte Seite gelten

3 - 2|x| ≥ 0

Du brauchst also nur 2 Fälle zu unterscheiden.

Gruß

Comments

also fällt x^2 einfach weg?

Wären dann die ersten beiden Fälle richtig? sodass ich einfach 3 - 2x ≥ 0 für x ≥ 0 und 3 + 2x ≥ 0 für x < 0 lösen muss?

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Nein warum sollte es wegfallen? 3-2|x| ≥ 0 sollte dir nur zur Fallunterscheidung helfen. Du brauchst also nur die Fälle -3/2 ≤x≤ 0 und 0 ≤ x ≤ 3/2 zu betrachten....