Ungleichung mit zwei Beträgen: |x |+ |x-4 |≤ 6

Question

|x |+ |x-4 |<=6

kann mir jemand bitte helfen? ich komme mit einem Betrag klar, aber ich weiß nicht was ich machen muss wenn ich zwei Beträge habe?

Mgf

Comments

Quadrieren liefert \((x^2-4x)+\vert x^2-4x\vert\le10\). Es folgt
\(x^2-4x\le5\), also\((x+1)(x-5)\le0\), d.h. \(-1\le x\le5\).

Answer 1

geometrische Lösung:

Beträge sind Abstände! 

|x-0 |+ |x-4 |<=6

Alle Elemente der x-Achse, die von x=0 und  x=4 zusammen maximal den Abstand 6 haben.

Das sind 

1. Alle Punkte zwischen x=0 und x=4.

2. Die Punkte zwischen -1 und 0.  (1 + 5 = 6)

3. Die Punkte zwischen 4 und 5.   (1+5 = 6) 

4. Auch noch die Punkte x=-1, x=0, x=4 und x=5.

Resultat 

in Intervallschreibweise L= [-1, 5]

in Mengenschreibweise L = {x Element R | -1≤x≤5} 

Comments

kann man diese Rechnung auch rechnerisch lösen?

mein erster Ansatz wäre gewesen:

x=>0

x-4=>0

x+x-4<=6

so habe ich es für alle 4 Kombinationen hingeschrieben.

also

x+x-4<=6

x-x+4<=6

-x+x-4<=6

-x-x+4<=6

jetzt weiß ich aber nicht mehr weiter?

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Schreibe zumindest die verschiedenen Fälle an, dann merkst du schon zu Beginn, dass da nur 3 Fälle zu unterscheiden sind. Es gibt sicher keine x, die gleichzeitig kleiner als 0 und grösser als 4 sind. 

|x-0 |+ |x-4 |<=6 

1. Fall x≤ 0

-x - (x-4) ≤ 6

-2x + 4 ≤ 6 

-2 ≤ 2x

-1 ≤ x   ==> Ergibt Teilmenge von 1. Fall.

L_(1) = { x Element R |  -1 ≤ x ≤ 0 } 

2. Fall 0<x<4

x - (x-4)  ≤ 6

-4 ≤ 6  allgemeingültig: L_(2) = {x Element R | 0 < x < 4} 

3. Fall x≥4

x + (x-4) ≤ 6

2x - 4 ≤ 6

2x ≤ 10

x ≤ 5  ergibt automatisch Teilbereich von 3. Fall

L_(3) = { x Element R | 4≤x≤5} 

4. Fall x>4 und x<0 gibt es gar nicht. 

Nichts! 

Total: Vereinigungsmenge

L = L_(1) u L_(2) u L_(3) = {x Element R | -1 ≤ x≤ 5} 

Answer 2

Wichtig ist wann die Betragsfunktion 0 ist.

Für über oder unter null ( positiv oder negativ ) bedeutet die Betragsfunktion

term > 0 : | term |  = term
term < 0 : | term | = term * (-1)

Mit folgender Vorgehensweise bleibt die Übersicht erhalten

- Nullpunkt der Betragsfunktion feststellen

Hier x = 0 und x = 4

- auf einem Zahlenstrahl werden die Werte eingetragen

- es ergeben sich 3 Bereiche die getrennt untersucht werden müssen.

mfg Georg