2 Punkte an 2 Geraden bestimmen + Abstand

Question

komme bei dieser Aufgabe nicht weiter, hat einer einen Ansatz an dem man weiter machen könnte ?

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Tipp:

1. Die kürzeste Verbindungslinie steht senkrecht auf beiden Geraden.

Dann:

2. Benutze, dass die Summe der Vektoren entlang einer geschlossenen Vektorkette der Nullvektor ist.

Answer 1

Der Vektor P_aP_b steht ja dann auf beiden Geraden senkrecht.

Es ist PaPb = Pb - Pa = ( 1;2;4) + b*(-1 ; 4 ;0 )  - (   ( 3 ; 1 ; 2 ) + a* ( 2 ; 0 ; 8 ) )

                      = (   2 -2a -2b  ;   1 + 4b  ; 2 - 8a )

und der muss mit beiden Rictungsvektoren das Skalarprodukt 0 haben, also

(   2 -2a -2b  ;   1 + 4b  ; 2 - 8a )* (-1 ; 4 ;0 ) = 0

und

(   2 -2a -2b  ;   1 + 4b  ; 2 - 8a )* ( 2 ; 0 ; 8 ) = 0

gibt

2a + 17b = -6     und  -68a - 2b = -12

a=3/16 und b = -3/8

Einsetzen in die Geradengleichungen gibt die ges. Punkte

( 11/8  ; 1/2  ; 4 )   und    ( 27/8  ; 1  ;  7/2 )