Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte auf der Geraden g, die von Q den Abstand 3*√11 haben.

Question

Aufgabe 1:

Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte auf der Geraden g, die von Q die Entfernung 3*√11 haben. Fertigen Sie dazu eine Skizze an.

g: x = (2|1|-1) + r (1|2|2)

Q(9|12|-2)

Aufgabe 2:

Q1 sei der Spiegelpunkt von Q bzgl. der Geraden g. Tragen Sie Q1 in Ihre Skizze aus Teilaufgabe b) ein und berechnen Sie die Koordinaten von Q1.

Answer 1

Also, mal ausgehend von Unkowns Bild:

Die kürzeste Verbindung zwischen g und Q steht senkrecht auf g! Das ist eine allgemeine Tatsache im Raum, die man z.B. mit der Differentialrechnung zeigen kann.

Darum bildet man die Ebene E, die senkrecht auf g steht und durch Q geht, denn alle Vektoren innerhalb der Ebene stehen nun senkrecht auf g. Dann berechnet man den Schnittpunkt von E und g, das ist dann der Punkt auf g, der Q am nächsten liegt.

Im Bild ist das der Punkt F. Dann kann die grüne Strecke mit dem Satz des Pythagoras bestimmt werden.

E bestimmt man zum Beispiel mit der Normalenform:

E: (x - a) * n = 0

wobei n der Normalenvektor und a der Stützvektor der Ebene sind. Mit

n = (1|2|2)
a = (9|12|-2)

steht die Ebene also senkrecht auf g und geht durch Q.

Damit erhält man ausmultipliziert die Koordinatendarstellung von E:

x*n - a*n = 0

Der Vektor x hat die Koordinaten (x|y|z), also ist diese Gleichung ausmultipliziert:

x + 2y + 2z - 9 - 24 + 4 = 0

x + 2y + 2z = 29

Wenn man nun die Parameterform von g in ihre einzelnen Komponenten auffächert, erhält man:

x = 2 + r
y = 1 + 2r
z = -1 + 2r

was man für die Schnittpunktsberechnung einfach in die Koordinatenform der Ebene einsetzt:

(2+r) + 2*(1+2r) + 2*(-1 + 2r) = 29

2 + r + 2 + 4r - 2 + 4r = 29

9r = 27  |:9

r = 3

Also erhält man für den Ortsvektor OF des Schnittpunkts:

OF = (2|1|-1) + 3*(1|2|2) = (5|7|5)

Und der Abstandsvektor zwischen OT und Q ist

d = (5|7|5) - (9|12|-2) = (-4| -5| 7)

Mit dem Betrag:

d² = 16 + 25 + 49 = 90

Mit dem Satz des Pythagoras erhält man nun für den Abstand s der gesuchten Punkte von F:

3*√11 = √(d² + s²)

99 = d² + s²

99 = 90 + s²

s² = 9

s = 3

Da der Richtungsvektor von g, (1|2|2) selber die Länge 3 hat, sind die gesuchten Punkte also

P_1/2 = (5|7|5) ± (1|2|2)

P₁ = (6|9|7)
P₂ = (4|5|3)

Aufgabe 2:

Das ist sehr einfach, weil wir ja schon die orthogonale Projektion von Q(9|12|-2) auf g berechnet haben, nämlich den Punkt F(5|7|5).

Man erhält nun den gespiegelten Punkt, indem man einfach denselben Weg nocheinmal zurücklegt, also gemäß

OQ₁ = OF + (OF - OQ)

(Wenn ich ein O vor den Punkt setze, meine ich immer den Ortsvektor.)

Man erhält:

OQ₁ = (5|7|5) + ((5|7|5) - (9|12|-2))

OQ₁ = (1|2|12)

Answer 2

So, jetzt nochmals sauber. Verzeih die vorherige Verwirrung:

Gegeben: Q(9|12|-2)

g: x=(2,1,-1)+r(1,2,2)

Richtungsvektor, der dem Normalvektor der Ebene entspricht: (1,2,2)

Normalform:

E: (x-(9,12,-2))*(1,2,2)

in Koordinantenform (mittels Skalarprodukt)

1x1+2x2+2x3=29

Da können wir nun g einsetzen:

-> g: (x1,x2,x3)=(2,1,-1)+r(1,2,2)

Also (g in E): 1*(2+r)+2*(1+2r)+2*(-1+2r)=29

-> r=3

r in g: x=(2,1,-1)+3(1,2,2)=(5,7,5)

Das ist also unser Schnittpunkt auf der Geraden. Der Fußpunkt F(5|7|5).

Differenz zu Q: (9-5,12-7,5-(-2))=(4,5,7)

Das ist eine Länge von FQ=√(16+25+49)=√90=3*√10

Wir haben also den Pythagoras mit: y2+(3*√10)^2=(3*√(11))^2

Mit y der unbekannten Strecke von Fußpunkt zum Schnitt zwischen grüner und orangener Linie:

y=3

Wir müssen vom Fußpunkt also 3 Einheiten weit entlang der Geraden laufen (Vorsicht, arbeite dabei mit der Richtungsvektor der Länge 1, also 1/3*(1,2,2):

p1=(5,7,5)+3*1/3*(1,2,2)=(6,8,6)

p2=(5,7,5)-3*1/3*(1,2,2)=(4,5,3)

P1(6|8|6)

P2(4|5|3)

So nun passt es. Konntest Du folgen? ;)

 

P.S.: Ich bin Unknown. Habs nochmals als Extraantwort gepostet, der Übersicht wegen.

 

Grüße

Comments

Korrektur: P₁(6|9|7)

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PERFEKT ! Alles in ordnung ! Habe alles verstanden.

Würden Sie mir aber trotzdem bei einer weiteren Aufgabe helfen ? Die nächste Aufgabe ist nämlich mit der Aufgabe da oben im zusammenhang