Bestimmung des Grenzwertes von an=√(1/1+x^2n)

Question

Bestimmen sie für alle x∈ℝ den Grenzwert der Folge

an=√(1/1+x^2n)

Wenn ich den Limes gegen unendlich laufen lasse sehe ich das der Grenzwert 0 ist und weil x^2n muss die Zahl auch immer positiv sein. Kann man das so argumentieren?

Nun zu meiner eigentlichen Frage: Ich habe mit dem Taschenrechner probiert was passiert wenn ich die wurzel aus einer Zahl hoch einer großen Zahl ziehe aber wie zeige ich mathematisch das die Hochzahl offensichtlich überwiegt?

Comments

Wenn ich den Limes gegen unendlich laufen lasse

Wie machst du das ?  Mit Zuckerbrot und Peitsche ?

Verrate mir doch deinen Trick.  Bei mir wollen die Grenzwerte immer nicht laufen.

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1. Kontrolliere die Klammerung.

Sollte x^{2n} unter dem Bruchstrich stehen, meinst du

https://www.wolframalpha.com/input/?i=√(1%2F(1%2Bx%5E(2n)))

2. Was weisst du über x?

Answer 1

für a ∈ ℝ₀⁺ , n ∈ ℕ_>1  gilt:

√(aⁿ)  = (aⁿ)^1/2 =  a^n/2  →_n→∞   {  0   für    0 ≤ a < 1

                                                {  1   für       a = 1

                                                {  ∞  für       a > 1

Gruß Wolfgang

Comments

Heißt das es reicht wenn ich mir mir einfach anschaue was mit a^2n passiert? Kann die Klammer ja eigentlich nicht auflösen....

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Ist das so gemeint:$$ a_n = \sqrt { \frac { 1 } { 1+x^{ 2n } } } $$