integralrechnung Problem !

Question

Hi

ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe

also das ist meine Lösungsweg

und ich hab auf keine Lösung gekommen ? da ich immer noch durch partielle Integral integrieren muss

Hilfe !

Answer 1

Zusammengefasst hast du $$\int \sin\left(\frac{\pi}{T_0}t\right)e^{-jk\frac{2\pi}{T_0}t}dt = \cos\left(\frac{\pi}{T_0}t\right) \frac{1}{-jk\frac{2\pi}{T_0}} e^{-jk\frac{2\pi}{T_0}t} - \int \frac{1}{2jk}\sin\left(\frac{\pi}{T_0}t\right)e^{-jk\frac{2\pi}{T_0}t}dt.$$ Auf der rechten Seite kannst du \(\frac{1}{2jk}\) vor das Integral ziehen. Dann hast du auf der linken Seite das gleiche Integral wie auf der rechten Seite. Löse die Gleichung nach \( \int \sin\left(\frac{\pi}{T_0}t\right)e^{-jk\frac{2\pi}{T_0}t}dt \) auf.

Comments

Und ?? was wird dann rauskommen ??2 ∫sin(πT0t)e−jk2πT0tdt 
???

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$$\begin{aligned} & & \int\sin\left(\frac{\pi}{T_{0}}t\right)e^{-jk\frac{2\pi}{T_{0}}t}dt & =\cos\left(\frac{\pi}{T_{0}}t\right)\frac{1}{-jk\frac{2\pi}{T_{0}}}e^{-jk\frac{2\pi}{T_{0}}t}-\int\frac{1}{2jk}\sin\left(\frac{\pi}{T_{0}}t\right)e^{-jk\frac{2\pi}{T_{0}}t}dt\\\iff & & \int\sin\left(\frac{\pi}{T_{0}}t\right)e^{-jk\frac{2\pi}{T_{0}}t}dt & =\cos\left(\frac{\pi}{T_{0}}t\right)\frac{1}{-jk\frac{2\pi}{T_{0}}}e^{-jk\frac{2\pi}{T_{0}}t}-\frac{1}{2jk}\int\sin\left(\frac{\pi}{T_{0}}t\right)e^{-jk\frac{2\pi}{T_{0}}t}dt\\\iff & & \left(1+\frac{1}{2jk}\right)\int\sin\left(\frac{\pi}{T_{0}}t\right)e^{-jk\frac{2\pi}{T_{0}}t}dt & =\cos\left(\frac{\pi}{T_{0}}t\right)\frac{1}{-jk\frac{2\pi}{T_{0}}}e^{-jk\frac{2\pi}{T_{0}}t}\\\iff & & \int\sin\left(\frac{\pi}{T_{0}}t\right)e^{-jk\frac{2\pi}{T_{0}}t}dt & =\frac{\cos\left(\frac{\pi}{T_{0}}t\right)\frac{1}{-jk\frac{2\pi}{T_{0}}}e^{-jk\frac{2\pi}{T_{0}}t}}{\left(1+\frac{1}{2jk}\right)}\end{aligned}$$

Answer 2

der Trick bei ∫ sin(ax) * e^bx dx bei partieller Integration ist, dass man beim 2. Mal hinten das gesuchte Integral mit verschiedenem Vorfaktor heraussbekommt:

∫ sin(kx) *  e^bx   dx  = ...... =  B(x) + c • ∫ sin(ax) * e^bx dx       | - c • ∫ sin(kx) • e^bx dx

(1-c) • ∫ sin(kx) *  e^bx   dx  = B(x)    | : (1- c)

∫ sin(kx) *  e^bx   dx  = B(x) / (1 - c)

Gruß Wolfgang 

Answer 3

wenn du die partielle Integration vermeiden möchtest, kannst du auch

sin(π/T₀*t)=1/(2*j)*[e^{j*[π/T₀*t]}-e^{-j*[π/T₀*t]}] einsetzen. Dann hast du nur noch Exponentialfunktionen zu integrieren.