Integralrechnung verständnis problem

Question

Aufgabe:Die Nettozulaufgeschwindigkeit eines Wasserbehälters, dh. Zulaufgeschwindigkeit minus Ablaufgeschwindigkeit, kann im Zeitraum [0,3] durch die Funktion f(t)= t^2-2t beschrieben werden, wobei f(t) die Einheit (m³/min] hat und t in Minuten gegeben ist.

b) Berechne die kleinste Wasserfüllmenge im Zeitraum t E [1,2]

Problem/Ansatz:

Die Lösung ist folgende F'(t)=t^2-2t=0  t₂=2 Der niedrigste Wasserstand liegt bei t=2 Minuten und die Wassermenge beträgt ungefähr 1.67m². Mir ist klar das man die Funktion ableiten muss aber warum die Stammfunktion und nicht die Ausgangsfunktion?

Answer 1

Das ist wie in der Physik:

Geschwindigkeit ist die Ableitung vom Weg.

Will man den Weg, muss mal die Geschwindigkeit integrieren.

Hier ist die Geschwindigkeit gegeben. Um die Wassermenge zu bekommen, muss man integrieren.

Deine gegebene Funktion ist also die Ableitung der Wassermenge. Um das Minimum zu bekommen, musst du es Null setzen.

~plot~ 1/3*x^3-x^2 ~plot~

Answer 2

F(x) gibt die Menge im gesuchten Zeitraum an = die Fläche unter f(x).

Deren Minimum ist gesucht. -> F(x) ableiten und Ableitung Null setzen.

Die Ableitung von F(x) ist f(x).