Vollständige Induktion binominalkoeffizent

Question

könnt ihr mir sagen wo ich einen fehler gemacht habe?

$$ \sum _{ k=1 }^{ n }{ (-1)^{ n-k }k^{ 2 } }  = (n+1) über 2$$ 

(n+1) über 2 = $$ \frac { (n+1)! }{ 2(n-1)! } =\frac { (n-1)!(n)(n+1) }{ 2(n-1)! } =\frac { (n)(n+1) }{ 2 }   $$

(n+2) über 2 = $$ \frac { (n+2)! }{ 2(n)! } =\frac { n!(n+1)(n+2) }{ 2n! } =\frac { (n+1)(n+2) }{ 2 } $$

$$ => S(n) => S(n+1) $$

$$ \frac { (n)(n+1) }{ 2 }  + (-1)^{ (n+1)-(n+1) }(n+1)^{ 2 } $$

$$ = \frac {(n^2+n) + 2((n+1)^2)  }{ 2 }  = \frac {3n^2+3n+2 }{2 } $$

$$ = \frac {3n^2+3n+2 }{2 }  \neq\frac { (n+1)(n+2) }{ 2 } $$

Answer 1

Du hast nicht bedacht, dass das n auch in dem Exponenten von (-1)

vorkommt. Dort muss dann auch n+1 statt n stehen. Dann klappt es:

$$ \sum_{k=1}^{n+1}{(-1)^{n+1-k}*k^2} $$
$$ = -\sum_{k=1}^{n+1}{(-1)^{n-k}*k^2} $$
$$ =-\sum_{k=1}^{n}{(-1)^{n-k}*k^2} + (n+1)^2 $$
$$ = (n+1)^2 - \sum_{k=1}^{n}{(-1)^{n-k}*k^2} $$
$$ = (n+1)^2 -\frac {n*(n+1) }{2}$$
$$ = \frac {(n+2)*(n+1) }{2}$$

Comments

wenn man aus der Formel also n+1 über 2 + -1^{(n+1)-k} *k^2 schließt ist dann nicht automatisch k = n ?`da man das ganze ja nur für 1 zahl macht?

deswegen dachte ich es wäre -1^0

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Es geht doch um den Unterschied zwischen (-1)^n+1-k und  (-1)^n-k.

Und da hat der erste Term einen Faktor -1 mehr als der zweite,

hat also immer genau das entgegengesetzte Vorzeichen.

Deshalb kann man einmal die -1 aus der Summe herausziehen

und hat dann eben ein Minus vor der Summe und in der

Summe dann die gleiche Potenz von -1 wie bei   S(n)

und dann passt ja dein Gedanke von der Ergänzung des letzten

Summanden.

Answer 2

> \( \frac { (n)(n+1) }{ 2 } + (-1)^{ (n+1)-(n+1) }(n+1)^{ 2 } \)

Du gehst hier davon aus, man könne S(n+1) aus S(n)  berechnen indem man einen zusätzlichen Summanden hinzufügt. Das ist falsch. Durch den Übergang von S(n) zu S(n+1) kommt nicht nur ein Summand hinzu, sondern es ändern sich auch alle bereits vorhandenen Summanden.

Beispiel.

n=3, k=1. Der erste Summand von S(3) ist (-1)^3-1·1²= 1

n=4, k=1. Der erste Summand von S(4) ist (-1)^4-1·1²= -1.