Integralrechnung mit Wurzel

Question

könnte mir wer

$$ \int { \frac { x^{ 2 }dx }{ \sqrt { x+2-x^{ 2 } }  }  }  $$

berechnen? Als tipp wurde "Führen Sie den Radikand auf a^2+z^2 zurück" gegeben

Answer 1

Integralrechnung mit Wurzel

 

Answer 2

Tipp ist doch fast OK, soll aber wohl  a^2 - x^2  heißen.

Denn dann kommt man ja wohl mit arcsin weiter, denn arcsin ' (x) =  1 / √( 1 - x^2 )

Also los:

x + 2 - x^2 =  2  - ( x^2 - x  )

                 = 2,25 - ( x^2 - x + 0,25)

                = 2,25 - ( x-0,5)^2 

Also ist der Integrand schon mal

x^2 /  √( 2,25 - ( x-0,5)^2)   dx

= x^2 /   (3/2)* √ ( 1  -  (2x/3 - 1/3 )^2  )   dx

=  2x^2 / 3    /  √ ( 1  -  (2x/3 -1/3 )^2   )    dx

Jetzt vielleicht mal erst Substitution  z = 2x/3 - 1/3

also x = 3z/2  +1/2       und    dx / dz = 3/2 also dx = 3/2 dz

Dann hast du das Integral

∫    ( 3z^2 + z + 1/6 )    /   √ ( 1  -  z^2   )   3/2 dz

Vielleicht hilft das schon weiter.