Parabelgleichung aus zwei Punkten

Question

Von einer Parabel sind nur die Leitlinie y= -3 und die beiden Punkte A(4/1) und B(-3/0) bekannt.Bestimmen Sie geschickt Scheitelpunkt und Brennpunkt.
Versuch:f(x)=x²+px+q
1.) 1=4²+4p+q2.) 0=-3²-3p+q
1=16+4p+q0=9-3p+q
-15=4p+q-9=-3p+q
1.-2.:   -6=7p     p=-6/7
in 1. einsetzen:    1=16+4*(-6/7)+qq=-9/7
f(x)= x²-6/7x-9/7
Bin ich soweit richtig?
Wie komme ich von dieser allgemeinen Formel jetzt auf die Scheitelpunktform der Parabel?

Comments

bzw. kann ich hieraus nicht gleich ablesen, dass die Y-Achse die Symmetrieachse der Parabel ist und damit die -9/7 der Scheitelpunkt ist und damit der Brennpunkt 10/7?

Answer 1

>f(x)= x²-6/7x-9/7

Dabei hast du die Leitlinie nicht verwendet. Du bist trotzdem zu einer Lösung gekommen weil ...

> Versuch:f(x)=x²+px+q

... du nur zwei unbekannte hast; p und q.

Da du nicht davon ausgehen kannst, dass es sich um eine verschobene Normalparabel handelt, musst du f(x) = ax²+px+ q als Grundlage wählen. Jetzt hast du drei unbekannte und musst deshalb auch noch die Leitinie berücksichtigen.

Außerdem geht es gar nicht darum, die Funktionsgleichung aufzustellen, sondern Brennpunkt und Scheitelpunkt zu bestimmen.

> A(4/1)

Abstand von A zur Leitlinie ist 4, Abstand von A zum Brennpunkt ist also auch 4. Zeichne um den Punkt A  einen Kreis mit Radius 4. Der Brennpunkt muss auf diesem Kreis liegen.

> B(-3/0)

Abstand von B zur Leitlinie ist 3, Abstand von B zum Brennpunkt ist also auch 3. Zeichne um den Punkt B  einen Kreis mit Radius 3. Der Brennpunkt muss auf diesem Kreis liegen.

Weil der Brennpunkt auf beiden Kreisen liegen muss, muss er auf einem der Schnittpunkte der beiden Kreise liegen.

Comments

hast du dich versehen mit den Abständen zur Leitlinie?

A ist 5 entfernt und B 4?

Den Rest verstehe ich, aber welcher der beiden ist dann der gesucht Brennpunkt und wo liegt der Scheitelpunkt?

Wenn ich das zeichne ist es auch nicht achsensymmetrisch wie ich eigentlich dachte?

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> A ist 5 entfernt und B 4?

y-Koordinate der Leitlinie ist -3. y-Koordinate von A ist 1. Differenz der beiden y-Koordinaten ist 4.

y-Koordinate der Leitlinie ist -3. y-Koordinate von B ist 0. Differenz der beiden y-Koordinaten ist 3.

> welcher der beiden ist dann der gesucht Brennpunkt

Ich habe deutlich weniger als zwei Schnittpunkte.

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Entschuldigung, Leitlinie ist -4.

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Schade, mit -3 wäre die Aufgabe viel einfacher gewesen.

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sorry ;-)

lieg ich denn dann richtig??

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Beide Punkte eigenen sich als Brennpunkte. Scheitelpunkt bekommt man indem man deren y-Koordinate halbiert und dann 2 subtrahiert.

Berechnen kann man die Brennpunkte mit Pythagoras.

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wenn ich den Brennpunkt mit dem Zirkel bestimme liegt der aber nicht auf der Y-Achse. Dann ist die Parabel ja nicht achsensymmetrisch obwohl ich das mit meiner Rechnung rausbekomme?

Ist denn mein Weg überhaupt richtig, wenn ich die Leitlinie nicht beachtet habe?

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Die Funktion, die du als Ergebnis bekommen hast, ist nicht achsensymmterisch zur y-Achse. Dafür sorgt der Summand -6/7x.

Beim Umformen von 1=16+4*(-6/7)+q hast du dich vertan. Es ist q=-81/7. Mit diesem q bekommst du zwar eine Parabel, die durch die Punkte A und B verläuft. sie hat aber nicht y=-4 als Leitlinie.

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Kannst du vielleicht nochmal aufschreiben wie ich da jetzt Brennpunkt und Scheitelpunkt bestimme? Bzw. was du als Punkte raus hast?

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Habe jetzt zwei Brennpunkte und zwei Scheitelpunkte bei

F1(-0,5/3,1) und S1(-0,5/-0,45)

F2(0,3/2,3) und S2(0,3/-3,3)

Die ergeben sich bei mir wenn ich das mit dem Zirkel mache wie beschrieben.

Das ist aber ja ziemlich ungenau und muss ja irgendwie auch rechnerisch zu lösen sein??