Integral einer komplexen Exponentialfunktion

Question

Wie schaffe ich es folgendes zu integrieren?

Habe da gerade noch so langem lernen ein Brett vor dem Kopf... da ich ich gerade ewig gebraucht habe um mir Fourierreihen beizubringen xC

$$ \int _{ -\infty  }^{ 0 }{ (1+x){ e }^{ (1-iw)x } } dt $$

i ist die Imaginäre Einheit und w die Kreisfrequenz.

PS: es geht um die Fourier-Transformierte von

$$ x(t)=(1+t)·{ e }^{ −|t| } $$

Für einen nachvollziehbaren Lösungsweg wäre ich wirklich sehr dankbar!

Comments

Hi, müsste es im Integranten nicht t anstatt x lauten?

g(w)=1/√(2*π)∫_ℝ x(t)*e^{-iwt}dt=1/√(2*π)*[∫_-∞⁰ (1+t)*e^{t*[-1-iw]dt}+∫₀^∞ (1+t)e^{t*[1-iw]}dt]

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Ja es müsste t lauten.

Leider verstehe ich nicht ganz was du da gemacht hast.

Könntest du das noch mal genauer erläutern?  Habe gerade ein ziemliches Brett vorm Kopf :(

Wieso muss man hier das Integral aufspalten? Wie geht es weiter?

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Deine Funktion lautet x(t)=(1+t)*e^{|t|}

für t<=0 gilt e^{|t|}=e^{-t}

und für t>0 e^{|t|}=e^{t}

Deshalb spaltet man das Integral 2 Teilstücke auf,-∞ bis 0 und 0 bis∞, sodass man den Betrag in der e-Funktion ersetzen kann.

Zur weiteren Berechnung kannst du partielle Integration anwenden

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Achso, das verstehe ich. Dachte du hättest irgendwas mit dem ersten Integral das ich hingeschrieben habe gemacht.

Zuvor hatte ich das hier:

$$\int _{ -\infty  }^{ \infty  }{ (1+t){ e }^{ -|t| }{ e }^{ -iwt }dt=\int _{ -\infty  }^{ 0 }{ (1+t){ e }^{ (1-jw)t }dt\quad +\quad \int _{ 0 }^{ \infty  }{ (1+t){ e }^{ (1+jw)t }dt\quad = }  }  } $$

Bei dir steht ja noch ein 1/√(2*π) davor. Woher kommt das?

Mein Hauptproblem besteht darin das Integral zu lösen. Könntest du es mir für eins von beiden vormachen, dann würde ich das sicherlich mit dem anderen schaffen.

Du hast beim ersten Integral "-1" im Exponenten stehen, ist das richtig?

Ist das vorgehen zur Fourier-Transformierten so im Grunde denn richtig?

Danke nochmals!

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Der Faktor 1/sqrt(2*π) kommt aus der Definition der Fourier-Transformation:

https://de.wikipedia.org/wiki/Fourier-Transformation#Definition

Hier ist n=1 (eindimensionaler Fall)

Upps, ich habe gelesen x(t)=(1+t)*e^{|t|} , aber es soll ja  x(t)=(1+t)*e^{-|t|} sein.

Das Integral sollte also lauten :

g(w)=1/√(2*π)*[∫_-∞⁰ (1+t)*e^t*[+1-iw]dt+∫₀^∞ (1+t)e^t*[-1-iw]dt]

Answer 1

Hi,

ich rechne mal das untere Integral aus:

∫_-∞⁰ (1+t)*e^t*[+1-iw]dt löst man mit partieller Integration:

∫f'g=f*g-∫fg' Hier: f'(t)=e^t*[+1-iw] , g(t)=1+t , f=-e^t*[+1-iw]/(1-jw),g'(t)=1

-->∫_-∞⁰ (1+t)*e^t*[+1-iw]dt= -e^t*[+1-iw]/(1-jw)*(1+t)|_-∞⁰- ∫_-∞⁰-e^t*[+1-iw]/(1-jw)dt

=-e^t*[+1-iw]/(1-jw)*(1+t)-e^t*[+1-iw]/(1-jw)^2|_-∞⁰=-1/(1-jw)-1/(1-jw)^2

Answer 2

e^{-i*t} = cos(t)-i sin(t) also einfach 2 Teil-Integrale, wo man das i als Faktor vor's Integral ziehen kann

NR.: e^{-abs(t)}*e^{-i*w*t}=e^{-abs(t)-i*t*w}

∫ e^{-abs(t)-i*t*w}(1+t) dt,t=-∞...0

=(i*w)/(w+i)^2