Orthogonale Matrix A. Beweise a12 = a13 = ... = a1n = 0 und ...

Question

kann mir jemabd sagen was ich hier machen soll?

Answer 1

Matrix orthogonal heißt doch  A * A^T = I_n  ( nxn Einheitsmatrix)

Also Skalarprodukt der 1. Zeile von A mit der 1. Spalte A^T

( das ist auchdie erste Zeile von A) muss 1 ergeben.

Also  1^2 + a₁₂^2 + a₁₃^2 + .... + a_1n^2  = 1 

also     a₁₂^2 + a₁₃^2 + .... + a_1n^2  = 0 und da Quadrate nie

negativ sind, müssen alle  a_1i  = 0 sein.

b) schau mal dort :

https://de.wikipedia.org/wiki/Blockmatrix#Multiplikation_von_Blockmatrizen

und zerlege A in 4 Blöcke 

1.  1x1 Matrix mit dem Element 1 = a₁₁  .

2. Rest der 1. Zeile

3. Rest der 1. Spalte

4. die bei b gegebene Matrix  M

Und bei A^T entsprechend.

Dann bekommst du  wegen A*A^T = I_n auch    M*M^T = I_n-1  .

Comments

Der Rest der ersten Zeile ist dann überall null oder?

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Lalule: Richtig. Das hat mathef mit diesen Zeilen gezeigt:

Also  1² + a₁₂² + a₁₃² + .... + a_1n²  = 1  

also     a₁₂² + a₁₃² + .... + a_1n²  = 0 und da Quadrate nie

negativ sind, müssen alle  a_1i  = 0 sein.