Integral mit Nebenbedingung lösen

Question

hallo zusammen,

ich habe folgendes problem:

gegeben Sei das unbestimmte Integral $$ \int { \frac { dx }{ 1-{ x }^{ 2 } }  }  $$

Zu zeigen ist, dass dieses Integral die Stammfunktion $$ \frac { 1 }{ 2 } *log(\frac { 1+x }{ 1-x } )\quad +c $$ hat.

Als Hinweis wurde angegeben:

$$ \frac { 1 }{ 1-{ x }^{ 2 } } =\frac { 1-{ x }^{ 2 } }{ 1-{ x }^{ 2 } } +\frac { { x }^{ 2 } }{ 1-{ x }^{ 2 } } =1-\frac { x }{ 2 } *\frac { -2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } $$ und benutze die Partielle Integration.

Mit dem ursprünglichen Integral habe ich keine Probleme;

Mein erster Ansatz:

$$ \int { 1\quad dx\quad +\quad \int { -\frac { x }{ 2 }  }  } *\int { \frac { -2x }{ 1-{ x }^{ 2 } }  }  $$

Beim letzten Ausdruck erkennt man ja, dass der zähler die ableitung des nenners ist; Ich weiß allerdings nicht, ob da die regel anwendbar ist, da es ja eine multiplikation ist.

Mein Problem ist, dass ich mit partieller Integration die Ausdrücke nur noch schwieriger mache.

Gruß

Answer 1

Darfst du als Nachweis auch den umgekehrten Weg verwenden :
Die Stammfunktion ableiten ?

Answer 2

Du kannst aus dem Integral über ein Produkt nicht

das Produkt zweier Integrale machen. Das ist falsch.

Aber partiell geht doch

∫ x/2 * -2x/(1-x^2)  dx 

= x/2 * ln( x^2 - 1 )   -  ∫  1/2 *  ln( x^2 - 1 )  dx

Dazu braucht man jetzt  ( mit Faktor 1 Trick )

  ∫    ln( x^2 - 1 )  dx    =      ∫  1*   ln( x^2 - 1 )  dx  

= x*   ln( x^2 - 1 )   -       ∫  x*   2x / ( x^2  -   1 )  dx  

=  x*   ln( x^2 - 1 )   -       ∫     2x^2 / ( x^2  -   1 )  dx  

Jetzt noch das letzte:

  ∫     2x^2 / ( x^2  -   1 )  dx    =  ∫ 2 +   2/(x^2 -1 )  dx  (Polynomdiv.)

= 2x + ∫  2/(x^2 -1 )  dx     und dazu noch Partialbruchzerlegung

für das Integral   ∫  2/(x^2 -1 )  dx  

=  ∫ ( -1/(x+1)  +   1/(x-1)  ) dx

=  - ln (x+1)  + ln ( x-1) 

Jetzt alles wieder einsetzen, dann müsste es klappen.

Answer 3

der üblichere Weg wäre eine Partialbruchzerlegung zu machen:

1/(1-x^2)=-[1/(x+1)*(x-1)]=A/(x+1)+B/(x-1) Mit Hauptnenner multiplizieren

--> -1=A*(x-1)+B*(x+1)=(A+B)*x+(B-A) Koeffizientenvergleich

--> A+B=0; B-A=-1 --> A=1/2, B=-1/2

-->1/(1-x^2)=1/2*[1/(x+1)-1/(x-1)]

-->∫1/(1-x^2)=1/2*∫[1/(x+1)-1/(x-1)]=1/2*[ln(|x+1|)-ln(|x-1|)]=1/2*[ln(|(x+1)/(x-1)|)]=1/2*[ln(|(x+1)/(1-x)|)]

=1/2*[ln((x+1)/(x-1))]

Answer 4

Integral mit Nebenbedinung lösen

Das entstandene Integral ist dann weiter mit part. Integration zu lösen.