Kurvendiskussion f(x) = (x-2)(x-2)(x^2 -1) bitte um Hilfe

Question

Ich komme bei der Nr.1 nicht weiter, kann mir jemand das vorrechnen bitte? Wäre super

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Wenn du die Aufgabe von deinem Lehrer hast: "entsprechend der von uns entwickelten Kriterien". Bedeutet, dass du die Kurvendiskussion gemäss den festgelegten Punkten und möglicher  Argumentation und möglichst in der richtigen Reihenfolge mit der richtigen Nummerierung vorzunehmen hast. Die kann nicht jeder kennen. Du musst also selbst sortieren und ergänzen / weglassen.

Answer 1

f(x)=(x+2)(x-2)(x-1)(x+1)  = x^4 -5x^2 + 4

also  f gegen  unendlich für x gegen ±∞.

Symm zur y-Achse

Sy(0;4) Schnitt mit x-Achse bei ± 2 und ± 1.

f ' (x) = 4x^3 - 10x  also f ' (x) = 0 bei 0 und ±√(10)  / 2

mit f ' ' (x) = 12x^2 - 10   ergibt sich  Max bei x=0 und Minima bei ±√(10)  / 2

f ' ' (x) =0 für x = ±√(30)  / 6   dort Wendestellen.

~plot~ (x^2-4)*(x^2-1) ~plot~

Answer 2

f(x)=(x+2)*(x-2)*(x^2-1)

Nullstellen: Nutze Satz vom Nullprodukt

x+2=0 --> x=-2

x-2=0 --> x=2

x^2-1=0  --> x=1, x=-1

-->f(x)=(x+2)*(x-2)*(x^2-1)=(x+2)*(x-2)*(x-1)*(x+1)=x^4-5x^2+4

Symmetrie: Die höchste Potenz x^4, also eine gerade Potenz. Außerdem sind die Nullstellen symmetrisch um die y-Achse angeordnet --> f(x) ist symmetrisch zur y-Achse

Verhalten gegen +-Unendlich :  die höchste Potenz x^4 ist gerade--> f(x) strebt gegen + Unendlich für x gegen

+- Unendlich

Schnittpunkte mit y-Achse:

f(0)=2*(-2)*(-1)*1=4 ;S_y(0,4)

Die Schnittstellen mit x-Achse sind die bereits ermittelten Nullstellen (y-Wert dort Null)

Extrema:

f'(x)=4x^3-10x=0

x*(4x^2-10)=0 --> x=0

4x^2-10=0

x^2-5/2=0

x^2=5/2  --> x=√5/2 ;x=-√5/2

f''(x)=12x^2-10

f''(0)=-10 --> Maximum

f''(√5/2)=f''(-√5/2)=30 --> Minimum

Wendepunkte:

f''(x)=12x^2-10=0

x^2-5/6=0

x^2=5/6

x=√5/6; x=-√5/6

Graph:

~plot~ (x+2)*(x-2)*(x^2-1) ~plot~