Beweise anhand des Mittelwertsatzes: Es gibt a1 und a2 mit (f(b) - f(a))/(b-a) = a1 f'(x1) + a2 f'(x2) mit a1 und a2 ...

Question

Hallo mathelounger, wie löse ich diese Aufgabe ?

Answer 1

Dem Tipp folgend sei c ∈ ( a;b) .     also   a  < c  < b .

Dann gibt es laut Mittelw.satz

1.  ein x₁ ∈ ( a;c)  mit     ( f(a) - f(c) )  / ( a- c )  = f ' (x₁)    und

2.   ein x₂ ∈ ( c;b)  mit     ( f(c) - f(b) )  / ( c -b)  = f ' (x₂) 

und wegen x₁ ∈ ( a;c)  und  x₂ ∈ ( c;b)  und    a  < c  < b  gilt  a < x₁ <c < x₂  < b .

1. und 2. bedeuten auch

    f(a) - f(c)  = ( a- c ) * f ' (x₁)    und      f(c) - f(b)    =   ( c -b)  * f ' (x₁) 

Beide Gleichungen addiert ergibt

    f(a) - f(b)  = ( a- c ) * f ' (x₁)    +     ( c -b)  * f ' (x₁) 

und das durch (a-b) ergibt

  (  f(a) - f(b) )  /  ( a-b)     = ( a- c )/(a-b )   * f ' (x₁)    +     ( c -b)/ (a-b)    * f ' (x₁) 

und wegen     a  < c  < b  sind  1 =   ( a- c )/(a-b )  und  a2 =   ( c -b)/ (a-b)   aus ( 0 ; ∞ )

die gesuchten a1 und a2.und es ist auch
a1 + a2 =   ( a- c )/(a-b )  + ( c -b)/ (a-b)  =   ( a-b) / (a -b) = 1.    q.e.d.

Comments

Hallo Mathef,

Ich danke dir für deine Lösung,?aber eine Frage hätte ich. Warum ergibt sich bei diesem Schritt, von x2 eine x1?

"Beide Gleichungen addiert ergibt 

    f(a) - f(b)  = ( a- c ) * f ' (x₁)    +     ( c -b)  * f ' (x₁)  "

Gruß

Denise

---

Das 2. sollte natürlich x2 sein,   Dann stimmt am Ende auch das Ergebnis.