Vollständige Induktion n/(n+2)

Question

z.Z. ist

$$ \sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 2}{(k+1)(k+2)  }  }  =\frac { n}{n+2}   $$

$$ \frac { n}{n+2}  + { \frac { 2}{(n+2)(n+3)  }  } = =\frac { n+1}{n+3}   $$

$$ = \frac {n((n+2)(n+3)) + (n+2)(2)}{(n+2)((n+2)(n+3))}  $$

$$ = \frac {n^3+5n^2+6n + 2n+4}{(n+2)(n^2+5n+6)}  $$

$$ = \frac {n^3+5n^2+8n+4}{n^3+7n^2+16n+12}  $$

Könntet ihr mir einen Tipp geben ohne die Aufgabe direkt komplett zu lösen?

Ich dachte erst an n rauskürzen doch dann hätte ich ja sowas wie 4/n im bruch und das bringt mir ja auch nicht viel

MFG

Answer 1

Der Hauptnenner ist nur (n+2)(n+3) .

Danach solltest du auf keinen Fall den Nenner ausmultiplizieren. Solange es möglich ist solltest du faktorisieren. Du willst ja kürzen und (n+2) aus dem Nenner wegbekommen.

n/(n +2) + 2/((n+2)(n+3))         | Bruchaddition

= (n(n+3) + 2)/((n+2)(n+3))

= (n^2 + 3n + 2)/((n+2)(n+3))       | Zähler faktorisieren

= ((n+1)(n+2))/((n+2)(n+3))        | kürzen

= (n+1)/(n+3) 

Comments

wie kommt man von

= (n² + 3n + 2)/((n+2)(n+3))

auf 

= ((n+1)(n+2))/((n+2)(n+3))    

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Man faktorisiert mit der pq-Formel oder direkt nach Vieta

 (n² + 3n + 2)

= (n ± ....)(n±...)       . Es muss gelten Lücke * Lücke = 2 und Lücke + Lücke = 3. Infrage kommen +1 und +2. 

=(n+1)(n+2)         

---

wie kommt man von

= (n² + 3n + 2)/((n+2)(n+3))

auf 

= ((n+1)(n+2))/((n+2)(n+3))    

Solche quadratischen Terme wie  n² + 3n + 2 kann man
versuchen = 0 zu setzen     n² + 3n + 2 = 0
und dann gibt die pq-Formel  n=-1 oder n=-2
also  ist der Term (n+1)(n+2).

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Alternativ kannst du auch in einer Zwischenrechnung vom Zielterm ausgehen.

(n+1)/(n+3)         | erweitern

= ((n+1)(n+2)) / ((n+3)(n+2) )    und nun zum Vergleich mit dem Term links mal den Zähler ausmultpolizieren

= ( n^2 + 2n + n + 1*2)/((n+3)(n+2))

Das passt ja dann.

Answer 2

Mit einem CAS findest du

        n³ + 5n² + 8n + 4 = (n+1)·(n+2)²

und

        n³ + 7n² + 16n + 12 = (n+3)·(n+2)².

So weit hätte es aber gar nicht kommen müssen. Schon in dem Ausdruck \( \frac {n((n+2)(n+3)) + (n+2)(2)}{(n+2)((n+2)(n+3))} \) hättest du im Zähler (n+2) ausklammern können und gegen das (n+2) im Nenner kürzen können.