Limes (1+sin(pi*x/2))/(x-3)^3

Question

gibt es spezielle Limes Rechenregeln falls eine funktion auf x/0 hinausläuft?

$$Lim \quad x->3  \quad \frac { 1+sin(\frac { \pi  }{ 2 } x) }{ (x-3)^ 2 }  $$

Wie bearbeitet man solch eine Aufgabe

Comments

Hinweis :
In der Frage hieß es
( x - 3) hoch 3
weiter unten
( x -3 ) hoch 2

Answer 1

gibt es spezielle Limes Rechenregeln ?

Du hast hier einen Ausdruck 0/0 . Du verwendest hier die Regel von L'Hospital:

Siehe hier: https://www.matheretter.de/wiki/differenzialrechnung#hosp

Das bedeutet, Du leitest den Zähler und Nenner solange  getrennt ab,bis Du nicht mehr 0/0 bekommst(in diesem Fall 2 Mal)

Answer 2

eine weitere Lösungsmöglichkeit besteht darin, die Taylorentwicklung von sin(3/2*π*x) an der Stelle x₀=3 zu nutzen.

Für x nahe 3 gilt: sin(3/2*π*x)≈-1+1/8π^2*(x-3)^2

--> lim x--> 3 (1+sin(3/2*π*x))/(x-3)^2= lim x--> 3  1/8π^2*(x-3)^2)/(x-3)^2= lim x--> 3  1/8*π^2=π^2/8