Limes (1+sin(pi*x/2))/(x-3)3

Question

gibt es spezielle Limes Rechenregeln falls eine funktion auf x/0 hinausläuft?

$$Lim \quad x->3 \quad \frac { 1+sin(\frac { \pi }{ 2 } x) }{ (x-3)^ 2 }$$

Wie bearbeitet man solch eine Aufgabe

Comments

Hinweis :
In der Frage hieß es
( x - 3) hoch 3
weiter unten
( x -3 ) hoch 2

Answer 1

gibt es spezielle Limes Rechenregeln ?

Du hast hier einen Ausdruck 0/0 . Du verwendest hier die Regel von L'Hospital:

Siehe hier: https://www.matheretter.de/wiki/differenzialrechnung#hosp

Das bedeutet, Du leitest den Zähler und Nenner solange  getrennt ab,bis Du nicht mehr 0/0 bekommst(in diesem Fall 2 Mal)

Answer 2

eine weitere Lösungsmöglichkeit besteht darin, die Taylorentwicklung von sin(3/2*π*x) an der Stelle x₀=3 zu nutzen.

Für x nahe 3 gilt: sin(3/2*π*x)≈-1+1/8π²*(x-3)²

--> lim x--> 3 (1+sin(3/2*π*x))/(x-3)²= lim x--> 3  1/8π²*(x-3)²)/(x-3)²= lim x--> 3  1/8*π²=π²/8