limes x gegen 0 von sin(1/x) /x

Question

gesucht ist der Grenzwert von (sin(1/x)) /x für x gegen 0.

Ich habe zunächst 1/x = y substituiert. Das führt ja dann zum Grenzwert sin(y)*y wobei y jetzt gegen unendlich geht. Der Ausdruck geht ja gegen unendlich.

Aber wie kommt man da drauf?

Answer 1

Der Ausdruck geht ja gegen unendlich.

Nicht wirklich. SIN(y) pendelt zwischen -1 und 1 hin und her wenn y gegen unendlich geht. Und damit divergiert der ausdruck gegen plus und minus unendlich.

Comments

Und was passiert an den Stellen wo der sinus 0 wird? Da hätte man ja 0*unendlich ?

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Da bleibt es 0. Trotzdem gehen ja unendlich viele Werte gegen plus oder minus unendlich. Also gibt es keinen Grenzwert.

Schau ruhig nochmal nach wie ein Grenzwert definiert ist.

Allerdings ist hier die 0 ein Häufungspunkt.

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Ja das verstehe ich schon mit den Häufungspunkten.

Aber wieso ist hier sin (y)*y  für y gegen unendlich 0? 0*unendlich ist ja ein unbestimmter Ausdruck. Ist das hier der Fall weil y stärker wächst als sin (y)?

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Null * unendlich ist ein unbestimmter ausdruck wenn 0 nur ein grenzwert ist.

Wenn es wirklich null ist und nicht nur als grenzwert dann ist das auch wirklich null.

Stell dir vor du hast die Funktion f(x) = 0 * x.

Was denkst du passiert wenn x gegen unendlich geht ? Ist das dann auch unbestimmt?

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Was meinst du mit "Null*unendlich ist ein unbestimmter Ausdruck wenn 0 nur ein Grenzwert ist?"

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lim (x --> ∞) 1/x * x

wäre rein vom produkt unbestimmt, weil der Grenzwert von 1/x Null ist und von x unendlich.

lim (x --> ∞) 0/x * x 

ist allerdings kein unbestimmter Ausdruck weil hier nicht nur der Grenzwert null ist sondern der Ausdruck ist direkt null.

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Bei dem Beispiel mit 1/x *x hat man einen unbestimmten Ausdruck weil 1/x nur gegen 0 geht aber nie direkt 0 wird?

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lim x −> 0 [ 1 / x ]  geht gegen unendlich.

Unendlich ist keine markierbare Stelle auf
einem Zahlenstrahl.

Der Ausdruck
lim x −> 0 [ sin (1 / x ) ]   ist nicht definierbar.

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Ja das hab ich verstanden. Aber die Überlegungen in meinem letzten Kommentar stimmen soweit auch?

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In deiner Ausgangsfrage heißt es

gesucht ist der Grenzwert von (sin(1/x)) /x für x gegen 0.

Antwort : nicht definiert.

Dort steht nicht x = 0. Das geht gar nicht weil eine
Divsion 1 durch 0 nicht möglich ist.

Answer 2

wenn du die Substitution machst

erhältst du sin(y)*y, wobei gegen einmal gegen +∞ strebt und einmal gegen -∞ . in beiden Fällen divergiert es.