eine Stammfunktion zu f(x)=e^{-x^2} lässt sich nicht finden. Das Integral von -∞ bis +∞ von e^{-x^2} kann man aber mit einem Trick berechnen:
Betrachte [∫-∞∞ e^{-x^2}dx]^2=∫-∞∞ e^{-x^2}dx*∫-∞∞ e^{-y^2}dy =∫-∞∞dx *∫-∞∞ e^{-y^2}*e^{-x^2}dxdy
=∫-∞∞dx ∫-∞∞ e^{-[y^2+x^2]}dxdy Übergang zu Polarkoordinaten
x=r*cos(φ) , y=r*sin(φ) dxdy=r*drdφ
--> ∫-∞∞dx ∫-∞∞ e^{-[y^2+x^2]}dxdy =∫02π dφ ∫0∞ r*e^{-r^2}dr=2*π ∫0∞ r*e^{-r^2}dr
von dem letzten Integral kann man eine Stammfunktion finden mit der Substitution r^2=z , dr=dz/(2r)
-->2*π*∫0∞ r*e^{-r^2}dr=2*π∫0∞ 1/2*e^{-z}dz=π[-e^{-z}]0∞=π
-->∫-∞∞ e^{-x^2}dx=√π