Integral von f(x) = e^{-x^2} von -unendlich bis +unendlich?

Question

Ich hänge bei dieser Rechnung,

sieh Foto! kann mir villeicht jemand einen anstoß geben??

LG

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EDIT: Habe die Überschrift korrigiert zu:

"Integral von f(x) = e^{-x^2} von -unendlich bis +unendlich"

Bei "von" musst du immer die "untere Grenze" und bei bis die "obere Grenze" nennen.

Answer 1

eine Stammfunktion zu f(x)=e^{-x^2} lässt sich nicht finden. Das Integral von -∞ bis +∞ von e^{-x^2} kann man aber mit einem Trick berechnen:

Betrachte [∫_-∞^∞  e^{-x^2}dx]^2=∫_-∞^∞  e^{-x^2}dx*∫_-∞^∞  e^{-y^2}dy =∫_-∞^∞dx  *∫_-∞^∞  e^{-y^2}*e^{-x^2}dxdy

=∫_-∞^∞dx  ∫_-∞^∞  e^{-[y^2+x^2]}dxdy  Übergang zu Polarkoordinaten

x=r*cos(φ) , y=r*sin(φ)  dxdy=r*drdφ

--> ∫_-∞^∞dx  ∫_-∞^∞  e^{-[y^2+x^2]}dxdy =∫₀^2π dφ  ∫₀^∞ r*e^{-r^2}dr=2*π   ∫₀^∞ r*e^{-r^2}dr

von dem letzten Integral kann man eine Stammfunktion finden mit der Substitution r^2=z , dr=dz/(2r)

-->2*π*∫₀^∞ r*e^{-r^2}dr=2*π∫₀^∞ 1/2*e^{-z}dz=π[-e^{-z}]₀^∞=π

-->∫_-∞^∞  e^{-x^2}dx=√π

Answer 2

diese Funktion ist geschlossen nicht integrierbar, so das es keine Stammfunktion gibt.

Die Lösung ist nicht ganz einfach:

siehe hier :

https://www.youtube.com/watch?v=EPT3XsdTxSQ

Comments

super .... diese Erklärung is der hammer!!!

!