Uneigentliches Integral von 0 bis unendlich. Ist beim Limes alles mathematisch korrekt?

Question

Berechne die folgenden uneigentlichen Integrale:

\( \begin{aligned} \int \limits_{0}^{\infty}\left(\frac{1}{x^{2}}\right) d x &=\lim \limits_{k \rightarrow 0} \int \limits_{k \rightarrow 0}^{m}\left(\frac{1}{x^{2}}\right) d x \\ &=\lim \limits_{k \rightarrow 0 \atop m \rightarrow 0}\left[\frac{-1}{x}\right]_{k}^{m} \\ &=\lim \limits_{k \rightarrow 0 \atop m \rightarrow 0}\left[\frac{-1}{x}\right]_{k}^{m} \\ &=\lim \limits_{k \rightarrow 0}\left(\left(\frac{-1}{m}\right)-\left(\frac{-1}{k}\right)\right) \\ &=0+\infty \\ &=\infty \end{aligned} \)

Ist alles mathematisch korrekt?

Answer 1

Weil du auf "0 + unendlich" kommst, d.h. eine der Zahlen endlich ist nach dem Limes, ist das mathematisch gerade mal gut gegangen. Du solltest noch ergänzen: Das vorliegende uneigentliche Integral existiert nicht.

Im Zweifel besser das Integral aufspalten:

∫_{0}^{∞} f(x) dx = lim_{a→0}  ∫_{a}^{1} f(x) dx + lim_{b→∞}  ∫_{1}^{b} f(x) dx

Dann ist jeweils nur ein Grenzübergang nötig.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(1%2Fx%5E2)+from+1+to+infinity

und dann aber:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(1%2Fx%5E2)+from+0+to+1

Answer 2

$$\int_{0}^{∞}\frac{1}{x^2}dx\\ =\lim\limits_{N\to\infty}\int_{0}^{N}\Bigl(\frac{1}{x^2}\Bigl)dx\\ =\lim\limits_{N\to\infty}\Bigl[-\frac{1}{x}\Bigr]^N_0\\ =\lim\limits_{N\to\infty}\Bigl[(-\frac{1}{N})-(-\frac{1}{0})\Bigr]\\ =\infty⇒$$

Limes existiert nicht, Integral ist divergent.