Uneigentliches Integral - unendlich / unendlich

Question

Hallöchen,

ich soll das uneigentliche Integral von$$ \int _{ -\infty  }^{ \infty  }{ \frac { 2 }{ { x }^{ 2 }-4x+5 }  } dx $$lösen.

Blicke bei dem Thema noch nicht so durch, wie muss ich vorgehen um auf die Lösung zu kommen?

Answer 1

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2}{x^2-4x+5}dx$$Wenide die Linearität \(\int_{}^{}a\cdot f(x)=a\cdot \int_{}^{}f(x)\)an:$$2\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2-4x+5}dx$$ Vereinfache den Nenner mit der quadratischen Ergänzung:$$2\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{(x-2)^2+1}dx$$ Subsituiere \(t=x-2\):$$2\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{t^2+1}dt$$ Das \(={\displaystyle\int}\dfrac{1}{t^2+1}\,\mathrm{d}t\) ist das Stanrdardintegral für  \(arctan(t)\). Also Substitution auflösen:$$F(x)=2\cdot arctan(x-2)+C$$

Comments

Zähler und Nenner verwechselt?

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Vielen Dank für die schnelle Hilfe :)

Answer 2

hier ein Video zum Verständnis:

Comments

Vielen Danke für die schnelle Hilfe :)

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kein Problem  :-)

Answer 3

  Wenn du dich mit ===>  Residuen anfreunden könntest,  dem wohl komplitückischsten Gebiet  aus der komplexen  ===>  Funktionenteorie   Besorgen wir uns zunächst die  Polstellen des Nennerpolynoms  n  (  x  )

        n  (  x  )  =  x  ²  -  p  x  +  q           (  1a  )

        Am Schnellsten kriegst du das mit Vieta dem geschmähten Stiefkind.

       p  =  2  Re  (  z0  )  =  4  ===>  Re  (  z0  )  =  2        (  1b  )

      q  =  |  z0  |  ²  =  5  ===>  |  z0  |  =  sqr  (  5  )         (  1c  )

     Nach Pythagoras  ergibt das eine  ganze  ===>  Gaußsche Zahl

        z0  ;  z0 *  =  2  +/-  i        (  2  )

     Berechnen wir zunächst das Residuum von z0

                                                                 G ( z ; z0 )

     Res  f  |  z0  =  (  1 / 2 Pi i )     $       --------------------    dz        (  3  )

                                                                 z  -  z0

   Auf Grund des  ===>  Cauchyschen IntegralSATZES  (  CIS  )  kommt in ( 3 ) ja nur deshalb etwas von Null Verschiedenes heraus, weil der singuläre Nenner innerhalb des Integrationskreises  liegt.  Dabei ist der Integralkern G   "  alles von deiner Funktion, was nicht singulär wird "

                                            2

       G  (  z  ;  z0  )  =     -----------------        (  4a  )

                                         z - z0 *

                            2

        =     --------------------------        (  4b  )

                     z - ( 2  -  i  )

    So bekam denn dieses Verfahren auch den Spitznamen Abdecker-oder Zuhälterverfahren, weil du ( mit der Hand )  alles " abdeckst  2  bzw.  " zuhältst  "  ,  was singulär wird.  Cauchysche IntegralFORMEL  (  CIF  )    Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel

   " Das Residuum ist gleich dem Wert des Integralkerns an der Polstelle. "

   Res  f  |  z0  =  G  (  z0  ;  z0  )  =      (  5a  )

                              2

        =       ---------------------------------   =  (  -  i  )       (  5b  )

                     ( 2 + i ) - ( 2 - i )

     Mooment; was haben wir jetzt?  Das Residuum ist gleich einem   "  Rundlaufintegral  "  , das sich ergeben würde, wenn wir die Polstelle z0 einmal  um ( + 360 ° ) auf einem  ( ansonsten beliebigen ) geschlossenen Weg umlaufen ( Dreieck, Quadrat, Kreis, Ellipse. )

    Nehmen wir mal an, du hast einen ( betragsmäßig ) hinreichend großen negativen reellen Startwert  a  und Zielpunktt b . Und du willst dieses reelle Integral auswerten von a bis b .    Wenn du den reellen Weg durch einen Halbkreis in der komplexen Ebene schließt,  enthält dieser Weg - a und b genügend groß voraus gesetzt - die Polstelle z0 . Und nach dem ===>  Residuensatz bleibt der Pol z0 * ja unberücksichtigt.

    Und jetzt lassen wir a und b  gegen Unendlich gehen - was du ja ursprünglich vor hattest.  Dann sagt uns das ===>  Jordansche Lemma, dass der Beitrag des o.e. Halbkreises gegen Null geht; das uneigentliche Integral wird gleich dem Residuum.

   Aber das kann doch unmöglich sein, dass unser Integral in ( 5b ) imaginär raus kommt ( ! ? )  Beachte den Normierungsfaktor    (  2 Pi i )  in  (  3  )  -  echt lästige Dinge, an denen es oft scheitert. also ( 2 Pi ) ist das richtige Ergebnis.

   Da gibt es einen Witz aus der teoretischen Physik; der beschäftigt sich mit obiger Kalamität. Also c ist die Lichtgeschw. , G die Gravitationskonstante, e die Elementarladung und h das Plancksche Wirkungsquantum.

   Teoretiker pflegen ja immer alles gleich Eins zu setzen; der Witz geht so:

    " e  =  c  =  h  =  G  =  Pi  =  i  =  1  .....   "