Aloha :)
Ein ähnlich schwieriges Integral hast du gestern bereits nachgefragt. Auch dieses Integral hier lässt sich mit "Addition nach Substitution" lösen. Hattet ihr das als Methode in der Vorlesung? $$I:=\int\limits_0^\infty\frac{dx}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2}$$Mit der Substitution$$x:=\frac{1}{y}\;\;;\;\;dx=-\frac{1}{y^2}\,dy\;\;;\;\;x(0)\to\infty\;\;;\;\;x(\infty)\to0$$erhalten wir:$$I=\int\limits_{\infty}^0\frac{-\frac{1}{y^2}\,dy}{\left(\frac{1}{y}+y\right)^2}=\int\limits_0^\infty\frac{\frac{1}{y}\,dy}{y\left(\frac{1}{y}+y\right)^2}=\int\limits_0^\infty\frac{\frac{1}{x}\,dx}{x\left(\frac{1}{x}+x\right)^2}$$Hinter dem ersten Gleichheitszeichen wurde die Substitution eingesetzt. Hinter dem zweiten Gleichheitszeichen wurde das Minuszeichen aus dem Zähler durch Vertauschung der Integrationsgrenzen kompensiert und ein Faktor \(1/y\) aus dem Zähler als Faktor \(y\) in den Nenner geschrieben. Hinter dem dritten Gleichheitszeichen wurde der Name der Variablen \(y\) in \(x\) geändert, was den Wert des Integrals nicht ändert. Wenn wir beide Darstellungen addieren, erhalten wir:$$2I=\int\limits_0^\infty\frac{dx}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2}+\int\limits_0^\infty\frac{\frac{1}{x}\,dx}{x\left(\frac{1}{x}+x\right)^2}$$Unter der Voraussetzung, dass das Integral \(I\) existiert, können wir die Integranden addieren.$$2I=\int\limits_0^\infty\left(\frac{1}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2}+\frac{\frac{1}{x}}{x\left(\frac{1}{x}+x\right)^2}\right)dx$$$$\phantom{2I}=\int\limits_0^\infty\left(\frac{x}{x\left(x+\frac{1}{x}\right)^2}+\frac{\frac{1}{x}}{x\left(\frac{1}{x}+x\right)^2}\right)dx=\int\limits_0^\infty\frac{x+\frac{1}{x}}{x\left(x+\frac{1}{x}\right)^2}\,dx$$$$\phantom{2I}=\int\limits_0^\infty\frac{1}{x\left(x+\frac{1}{x}\right)}\,dx=\int\limits_0^\infty\frac{1}{x^2+1}\,dx=\left[\arctan(x)\right]_0^\infty=\frac{\pi}{2}-0$$Damit sind wir fertig:$$I=\int\limits_0^\infty\frac{dx}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2}=\frac{\pi}{4}$$
