0 Daumen
1,4k Aufrufe

Hi, ich würde gerne wissen, ob das Integral von 0 bis unendlich von x*arctan(1/x^2) dx kovergiert und wie man darauf kommt.

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen
Vielen Könntest du mir den Schritt mit der partiellen Integration und der Partialbruchzerlegung bitte auch noch zeigen?Ich komme irgendwie nicht weiter

Nur zur Kontrolle:

Bei der Partialbruchzerlegung hat man es mit komplexen Zahlen zu tun, oder?

Du bekommst nach der part. Integration u. a das Integral:

∫ (1/(z (z^2+1)) dz

Ich würde Dir empfehlen , nicht auf komplexem Wege zu rechnen , man verrechnet sich schneller., aber möglich ist es.

Ansatz::(nicht komplexer Weg)

1/(z (z^2+1)) = A/z +(Bz+C)/(z^2+1)

Verstehe, aber dann frage ich mich, wie man B und C herausbekommen soll. Die Grenzwertmethode kann man da nicht mehr anwenden, oder?

eine Methode ist der Koeffizientenvergleich

Könntest du mir den bitte an einem Beispiel zeigen?Weiß gerade nicht viel damit anzufangen :/

Wäre es vielleicht auch möglich A, B, C über den Weg mit den komplexen Zahlen  (mit der Grenzwertmethode) zu berechnen und dann anschließen diese Werte in den Ansatz mit dem nicht komplexen Weg einzusetzen?

hier der Weg mittels Koeffizientenvergleich:

Bild Mathematik

Sorry, hab noch eine kurze Frage:

Bei mir kommt komischerweise folgendes heraus:

(arctan(z))/(2z) - ((ln |z|)/2) + ((ln|z^2+1|)/4)

Wenn ich jetzt für z = (1/(x^2)) einsetze, habe ich das Ergebnis:


(arctan (1/(x^2)))/(2x^2)) - ((ln|1/x|)/(x^2)) + (ln|(1/x^2)+1|)/4) +C.

Was habe ich denn jetzt falsch gemacht?

Ich habe nicht alles nachgerechnet, aber du hast wohl z = 1/x2 einfach nur falsch eingesetzt:

arctan(1/x2) / (2/x2)  -  ln( |1/x2| ) / 2  +  ln( |1/x4 + 1| ) / 4  + c

wenn man diesen Term ableitet, erhält man  x * arctan(1/x2)

Achso ok :) Reicht es dann zu sagen, dass das Integral von 0 bis unendlich von diesem Term divergiert, weil man nicht durch 0 teilen darf und es den Logarithmus von 0 nicht gibt? (Müsste man nämlich machen, wenn man die Integrationsgrenzen einsetzt)

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community