Warum divergiert [arctan(1/x2) / (2/x2) - ln( |1/x2| ) / 2 + ln( |1/x4 + 1| ) / 4 ] von 0 bis unendlich

Question

Hi,

ich würde gerne wissen, warum [arctan(1/x²) / (2/x²)  -  ln( |1/x²| ) / 2  +  ln( |1/x⁴ + 1| ) / 4 ]₀^∞ divergiert, beziehungsweise wie man das formal aufschreiben kann.

Answer 1

Würde es konvergieren, dann würde es auch von 1 bis unendlich konvergieren.

Das tut es aber nicht; denn

arctan(1/x²) / (2/x²)  -  ln( |1/x²| ) / 2  +  ln( |1/x⁴+ 1| ) / 4   

= arctan(1/x²) / (2/x²)    +  ln(    ( |1/x⁴+ 1| ) / 4 ) /  ( |1/x²| ) / 2)  )

= arctan(1/x²) / (2/x²)   +  ln(    (2* |1/x⁴+ 1| ) / (4 *  |1/x²| )    )   

Beträge uninteressant, da eh alles positiv.

=  arctan(1/x²) / (2/x²)   +  ln(   (1/2)* (1/x⁴+ 1 ) /  (1/x² )    )   

=  arctan(1/x²) / (2/x²)   +  ln(    (1/2) *x^2 * (1/x⁴+ 1 )

=  arctan(1/x²) / (2/x²)   +  ln(    (1/2)* (1/x²+ x^2  )    )   

Würde es von 0 bis ∞  konvergieren, dann würde es auch von 1 bis unendlich konvergieren.

Das tut es aber nicht; denn  2. Summand geht für x gegen unendlich selbst gegen
unendlich, aber der erste konvergiert gemäß Hospital wie

(  -2x / (  x^4 +1 ))       /     ( -4 / x^3 )    =   -2x^4 / (  -4 *( x^4 + 1 ) )
geht also für x gegen ∞ gegen 1/2 .

Comments

Eine Frage nur:

Wie kommt man von ln( |1/x²| ) / 2  +  ln( |1/x⁴+ 1| ) / 4     auf

 ln(    ( |1/x⁴+ 1| ) / 4 ) /  ( |1/x²| ) / 2)  ) ? Ist das allgemein immer so, dass ln(x) + ln(x) = ln (x/x)?

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Wie kommt man von ln( |1/x²| ) / 2  +  ln( |1/x⁴+ 1| ) / 4     auf

 ln(    ( |1/x⁴+ 1| ) / 4 ) /  ( |1/x²| ) / 2)  ) ? Ist das allgemein immer so, dass ln(x) + ln(x) = ln (x/x)?

so ähnlich_  Vor dem 1. ln stand ein minus, also so was

wie  - ln(a) + ln (b) =   ln( b ) - ln (a ) = ln ( b / a )

siehe auch

http://www.brinkmann-du.de/mathe/gostpdf/p0_logarithmen_01.pdf

Seite 2.

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Besten Dank. Könntest du mir vielleicht auch noch sagen, wie man von  ln(    (1/2) *x² * (1/x⁴+ 1 ) auf

  ln(    (1/2)* (1/x²+ x²  )    )    kommt? Den Umformungsschritt verstehe ich nicht ganz.

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x² * (1/x⁴+ 1 )

= x^2 / x^4 + 1* x^2

= 1 / x^2 + x^2

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Aber x² * (1/x⁴+ 1 )  ist doch eigentlich =  x^2/(x^4+1), oder nicht?

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Oh, ich habe meinen Fehler schon gefunden. Hatte mich auf meinem Blatt verschrieben und ausversehen (x^2)*(1/(x^4+1)) geschrieben. Nehme wieder alles zurück. Danke nochmal :)