Ungleichung (2-x)/(2+x) < -1/2

Question

Hallo

$$ (2-x)/(2+x) < -1/2 $$

ändert sich das < > zeichen nur wenn man durch eine negative zahl dividiert oder auch beim multiplizieren mit einer negativen zahl?

Würde es bei dieser Ungleichung nur 2 Fälle x >= 0 und x < 0 geben?

Laut Wolframalpha ist die lösung -2 > x > 6

Wie kommt man auf die -2

Answer 1

diese Ungleichung lässt sich durch eine Fallunterscheidung mit zwei Fällen lösen:

Ist \( 2 + x \geq 0 \), das heißt \( x \geq -2 \), so gilt

\( 2 - x < - \frac{1}{2}(2 + x) = -1 - \frac{1}{2}x \).

Dies lässt sich umstellen zu

\( x > 6 \).

Der andere Fall ist \( 2 + x < 0 \), sprich \( x < -2 \), für den gilt

\( 2 - x > -1 - \frac{1}{2} x \).

Was sich zu

\( x < 6 \) umstellen lässt.

Daraus folgt der Gültigkeitsbereich der Ungleichung:

\( \mathbb{L} = (-\infty, -2)\ \cup\ (6, \infty)  \).

Dies lässt sich auch graphisch veranschaulichen, indem man \( (2-x)/(2+x) \) als Funktion in \( x \) auffasst: https://www.google.de/?#channel=fs&q=%282-x%29%2F%282%2Bx%29&gfe_rd=cr.

Mister

Comments

ändert sich das  das größer(gleich) / kleiner (gleich) zeichen nur beim dividieren mit einer negativen zahl oder auch beim multiplizieren mit einer negativen zahl?

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Sowohl bei Multiplikation mit einer negativen Zahl als auch bei Division durch eine negative Zahl ändert sich die Richtung der Ungleichung, da die Division nur ein spezieller Fall der Multiplikation ist, so wie die Subtraktion nur ein spezieller Fall der Addition ist.