Konvergenz von Reihen? Summanden sind a_(n) = (-1)^n ^n√2, d_(n) = x^n / ( 5 + (-1)^n)^n usw.

Question

Wahr oder falsch?

(1) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \sqrt[n]{2} \) ist konvergent.

(2) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{2 n}{4^{n}} \) ist konvergent.

(3) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\begin{array}{c}2 n \\ n\end{array}\right)^{-1} \) ist konvergent.

(4) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{\left(5+(-1)^{n}\right)^{n}} \) konvergiert für alle \( x \in(-4,4) \).

(5) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n-1}{n} \) ist konvergent.

(6) \( \sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\ln (n)} \) ist konvergent.

(7) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n}}{2^{n}} \) ist konvergent.

(8) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n}}{3^{n}} \) ist konvergent.

Comments

Was verstehst du denn nicht?

Kennst du die Konvergenzkriterien?

https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzkriterien

Das ist doch ideal eigentlich um mal zu lernen für dich.

Also suche dir ein paar Kriterien aus, wende sie an. 

Und dann gibst du uns das zum Kontrollieren.

Schau dir von mir aus auch zunächst bei Youtube ein Paar Erklärvideos an

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Danke für dein Tipp, ich hab es mal versucht. Also bei 7 komme ich nicht weiter, was mache ich am Schluss?

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Ich komme nicht weiter, ich weiß z.b nicht was ich bei 1, 3,5 und 6 abwenden soll. ich bin sehr lange raus aus der Mathematik, versuche mich reinzuarbeiten, aber irgendwie hakt immer was. Bin Hoffnungslos, vor 5 Jahren konnte ich die Aufgaben!

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Was hältst du bei 7 von dem Nullfolgekriterium ?

Das solltest du auch bei 1 und 5 anwenden können.

Bei 3 probier mal Quotientenkriterium.

Bei 6 probier mal das Leibniz-Kriterium.

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Wie Kürze ich die folgende Aufgabe jetzt die ich angefangen hab zu rechnen?

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Wie Kürze ich die folgende Aufgabe jetzt die ich angefangen hab zu rechnen?

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(2) konvergiert.

(3) dürfte konvergieren. Rechne noch nach. 

(4) müsste man wohl erst mal rechnen. 

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Wie Kürze ich die folgende Aufgabe jetzt die ich angefangen hab zu rechnen? 

Warum machst du es dir so schwer ?

an = (-3)^n / 2^n = (-1.5)^n

ist das nun eine Nullfolge ? Da |-1.5| > 1 ist das mit Sicherheit keine Nullfolge und damit ist die Reihe divergent.

Wenn du sowas siehst kannst du bereits divergent ankreuzen fast ohne was zu rechnen. Das man -3/2 sieht das das betragsmäßig größer 1 ist setze ich jetzt mal voraus.

Answer 1

Wie Kürze ich die folgende Aufgabe jetzt die ich angefangen hab zu rechnen? 

(-3)^{n+1}/(-3)^n = (-3)^1  = (-3) 

Grund (-3)^{n+1} = (-3)^n * (-3)  

Aber zu dieser Aufgabe (7):

Die Summanden sind ja:

(-3)^n / 2^n = (-3 / 2)^n = -1.5^n

Das sind die Summanden einer geometrischen Reihe mit dem Quotienten |q| = 1.5 >1 und daher ist die Reihe divergent. Die Behauptung (7) ist also falsch. 

(1) ist falsch, da die Summandenfolge nicht gegen 0 konvergiert. Ebenso (5) mit der gleichen Begründung. 

(8) die Summanden sind 

(-2)^n / 3^n = (-2/3)^n 

Das sind die Summanden einer geometrischen Reihe mit q = (-2/3). |-2/3| < 1 ==> (8) ist konvergent. 

Also (8) wahr.

(6) die Summanden bilden eine alternierende Nullfolge. Daher ist (6) wahr.