Wie berechne ich diese Kurvendiskussion? Kurvenschar f_(t):=((4x - t)/(x^2) , wobei x,t € R; t>0

Question

die Fragen zu der Aufgabe (siehe Bild)

Meine Bisherige Lösung

Nullstelle: Sx(t/4:0)

Verhalten im unendlichen: +-unendlich

Polstelle: Hier bräuchte ich mal eine etwas ausführlichere Beschreibung, wie man diese Berechnet. Nett wäre auch mal eine Lösungsmethode zur Berechnung einer Asymptote und deren Gleichung:)

Lokale Extrema: Hochpunkt (t/2:4/t)

->Ortskurve: yo=2/x

Und bei dem Grenzwert komme ich nicht weiter, denn ich kann die Polstelle nicht bestimmen.

Eine weitere Frage wäre noch was ist mit F2(x) gemeint?

Meint man hier die Stammfunktion von f2(x)? Wenn ja, müsste ich also zum Schluss die Stammfunktion mit einer der anderen beiden Gleichungen gleichsetzen und dann nochmal integrieren? Also doppelt gemoppelt?

Liebe Grüße Sophie

Answer 1

Polstellen sind Lücken im Definitionsbereich, in deren Umgebung die Funktionswerte belielebig groß werden.

Also gilt es zunächst, Lücken im Definitionsbereich zu finden. Du hast eine gebrochenrationale Funktion vor dir (also einen Bruch aus zwei  ganzrationalen Funktionen). Ganzrationale Funktioen haben keine Lücken im Definitionsbereich. Einziges Problem liegt also darin, dass du einen Bruch gegeben hast: man darf nicht durch 0 dividieren.

Der Nenner ist genau dann 0 wenn x=0 ist. Das ist also der einzige Kandidat für eine Polstelle. Führe eine Polynomdivision [Zähler] : (x - [Nullstelle des Nenners]) durch. Falls ein Rest bleibt, dann handelt es sich um eine Polstelle anstatt um eine hebbare Lücke.

Answer 2

Hallo Sophie,

Hier meine Berechnungen

blau : f 2
rot : Ortskurve

Flächenberechnung
[ 2 * ( ln ( x) + 1/x ) ] zwischen 1 und 4

A = 1.273