Zu zeigen dass lim an = 3/2 ist

Question

Hi,

Für n ∈ ℕ sei

a_n = 3n / (2n+1)

Bestimmen Sie für m = 1, m = 10, m = 100 jeweils ein N ∈ ℕ mit

|a_n - 3/2| < 1/m  für alle n ≥ N und zeigen Sie, dass   lim_n↦∞a_n = 3/2.

 Würde mich über Antwort und Erklärung dabei sehr freuen! :)

Answer 1

|a_n - 3/2| < 1/m 

3/2 - 1/m  < a_n   <  3/2 + 1/m   für m=1

1/2 < a_n   <  5/2

1/2 < 3n / (2n+1)   <  5/2

1/2 * (2n+1) < 3n  <  5/2 * (2n+1)

n -1/2  <  3n  <   5n + 5/2    Das erste gilt für alle n

  3n  <   5n + 5/2 

-2 n  <   5/2 

n  >  - 5   gilt auch für alle n, also gilt es bei m=1 für alle n

m= 10 entsprechend ausrechnen

und dann m=100

und dann allgemein   mit eps>0 statt 1/m und auch gilt es

immer von einem gewissen n ab, also Grenzwert nachgewiesen.