Rechteck dem Einheitskreis einbeschrieben

Question

Wie löse ich folgende Aufgabe?

Bestimme das Rechteck mit maximalen Flächeninhalt, das dem Einheitskreis eingeschrieben werden kann.

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Vermutung: Das Rechteck ist ein Quadrat.

Answer 1

a² + b² = d²

b² = d² - a²

A = a*b

Wenn die Fläche maximal ist sollte auch das Quadrat der Fläche maximal sein

A² = a²*b² = a²*(d² - a²) = a²*d² - a⁴

A²' = 2ad² - 4a³ = 0 --> a = √2/2·d

b² = d² - a² = d² - (√2·d/2)² = d²/2 --> b = √2/2·d 

Das Rechteck ist also ein Quadrat.

Answer 2

für den Einheitskreis gilt x^2+y^2=1

bzw.y=±√[1-x^2]

Lege den Mittelpunkt des Kreises in den Ursprung des Koordinatensystems. Die Eckpunkte des Rechtecks sollen auf dem Kreis liegen.

Für die Fläche A gilt A=a*b=2*x*2*f(x)=4x*f(x)

A=4*x*√[1-x^2]

Soll maximiert werden. Ableitung:

A'(x)=4*√[1-x^2]-4*x^2/√[1-x^2]=0

√[1-x^2]-x^2/√[1-x^2]=0 

die erste Wurzel mit sich selbst erweitern

--> (1-2x^2)/√[1-x^2]=0

--> x=±1/√2

f(1/√2)=1/√2 --> Quadrat

A(1/√2)=2

Answer 3

Siehe hier. Aufgabe 05

http://www.mathematische-basteleien.de/extremwert.htm