berechne: Integral ∫ u ds mit u= (2y^2 -3x^2y , 4xy -x^3, 0 ) entlang der Kurve x^2+ y^2 = 1 in der xy - Ebene

Question

Ich soll das Integral  ∫ u ds mit u= (2y^2 -3x^2y , 4xy -x^3, 0 ) entlang der Kurve x^2+ y^2 = 1 in der xy - Ebene berechnen.

Ich weiß, dass bei dem Integral Null herauskommt, was man nicht mal berechnen muss.

Leider verstehe ich nicht warum.

Wäre super wenn mir das jemand erklären kann.

Answer 1

ich vermute mal das u =(2y^2-3x^2*y,4xy-x^3), ansonsten käme keine 0 als Ergebnis heraus.

(Die z-Komponente kann man weglassen, sie ist immer 0)

x^2+y^2=1 stellt einen Kreis mit Radius 1 um den Ursprung dar.

Parametrisierung:

X=(cos(t),sin(t)) ,t∈[0,2π]  ---> dX/dt=(-sin(t),cos(t)) -> dX=(-sin(t),cos(t)) *dt

--> ∫udX=∫₀^2π (2y^2-3x^2*y,4xy-x^3)*(-sin(t),cos(t)) *dt

=∫₀^2π -2*sin(t)^3+3*cos(t)^2*sin(t)^2+4*cos(t)^2*sin(t)-cos(t)^4 dt

beim ersten Summanden kannst du nutzen:

sin(t)^3=sin(t)^2*sin(t)=(1-cos(t)^2)*sin(t) und dann mit der Substitution

cos(t)^2=z lösen

-->∫₀^2π -2*sin(t)^3dt=0

2. Summand:

Man kann die Doppelwinkelformel nutzen: cos(t)^2*sin(t)^2=(cos(t)*sin(t))^2=(1/2*sin(2t))^2=1/4*sin(2t)^2

Dieses Integral kannst du mit partieller Integration lösen

-->∫₀^2π 3/4*sin(2t)^2dt=3*π/4

Beim 3.Summanden verläuft es so wie beim ersten,

---> ∫₀^2π4*cos(t)^2*sin(t)dt =0

letzter Summand:

cos(t)^4=cos(t)^2*(1-sin(t)^2)=cos(t)^2-1/4*sin(t)^2--> -∫₀^{2π (}cos(t)^2-1/4*sin(t)^2)dt=-3π/4

--> Gesamtintegral=0+3*π/4+0-3π/4=0

Das war auch zu erwarten, da d/dy u_x= d/dx u_y , somit ist das Wegintegral über eine geschlossene Kurve immer Null.