Question

Durch welchen gemeinsamen Punkt verlaufen alle Parabeln der Funktion p(x) = -0,25x² +ax +0,25 -a

Bis hierhin komme ich alleine :

-025x² + ax + 0,25 -a = -0,25 x² +ax + 0,25 -a

ax + 0,25 -a = ax + 0,25 -a

ax - ax = 0,25 - a - 0,25 - a

x (a-a) = -a-a

Answer 1

Bis hierhin komme ich alleine :

-025x² + ax + 0,25 -a = -0,25 x² +ax + 0,25 -a

Auf der linken und rechten Seite steht dasselbe.
Die Gleichung ist richtig.
Unformungen sind nicht nötig.

Gibt es einen Punkt mit P ( x | y ) durch den alle
Funktionen mit unterschiedlichsten a laufen ?

Unterschiedliche a : a1 a2

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a1 = 4
a2 = 1

~plot~ -0.25*x^{2}+4*x+0,25*x-4; -0.25*x^{2}+1*x+0,25*x-1~plot~

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Danke, das hilft mir sehr weiter!

Answer 2

x (a-a) = -a-a . Dann wäre x·0 = -2a, was nicht sein kann. Besserer Vorschlag: Wahle zwei feste, verschiedene Werte für a und berechne den Schittpunkt dieser beiden speziellen Parabeln. Weise dann nach, dass dieser Punkt (es können auch zwei sein) auf allen Parabeln der Schaar liegt.

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Kannst du mir noch sagen, wie ich nachweisen kann, dass dieser eine Punkt auf allen Parabeln liegt ?

Ich habe jetzt z.B. für a1= 2, a2= 4 den Punkt P (-1/-4)

bekommen. Wie gehe ich weiter vor, danke.

Answer 3

zwei verschiedene Funktionen dieser Form haben mit a≠b die Gleichungen

f_a(x) = -0.25x² + ax + 0.25 - a   und   f_b (x) = -0.25x² + bx +0.25 - b

Schnittpunktberechnung:

  -0.25x² + ax + 0.25 - a  = -0.25x² + bx + 0.25  - b     | - 0.25 | + 0.25x²

⇔   ax - bx = a - b

⇔   x • (a-b) = a-b    | : (a-b) ≠0 wegen a≠b

⇔   x = 1

fa(1) = f_b(1) = 0

→  S(1|0) ist der einzige  gemeinsame Punkt aller Funktionensgraphen

Gruß Wolfgang

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Danke für die Veranschaulichung !

Answer 4

f(x)=-0.25x^2+ax+0.25-a

nutze quadratische Ergänzung:

-0.25x^2+ax+0.25-a=-0.25(x^2-4ax-1+4a)=-0.25*[(x-2a)^2-1+4a-4a^2]

=-0.25*[(x-2a)^2-(1-2a)^2]  --> für x=1 ist der Funktionswert unabhängig von a, f(1)=0

--> P(1,0)

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Danke für den Lösungsansatz !