Satz über stetige Funktionen und Folgen beweisen. Wenn an→L und f in L stetig ==> f(an )→f(L).

Question

Satz: Es sei (a_n) eine Folge reeller Zahlen. Es gelte a_n→L, und f sei eine Funktion, die an der Stelle L stetig und für alle a_n definiert ist. Dann gilt f(a_n )→f(L)

Da ich nicht weiß, wie ich das beweisen soll, fang ich damit an aufzulisten, was der Satz hergibt:

Es existiert ein N<=n für das gilt: | a_n -L|< ε

Da f stetig an der Stelle des Grenzwertes ist, muss dort lim_x→L f(x) existieren und gleich dem Funktionswert f(L) an dieser Stelle sein, also muss auch  f(lim_n→∞a_n )→L bzw. f(a_n )→L

So, klingt für mich alles ziemlich offensichtlich, aber ich weiß nicht, wie ich einen angemessenen Beweis verfassen kann :(

Generelle Frage: Wenn man die Abkürzung a_n→L benutzt, gegen welchen Wert läuft dann "n"? Gegen unendlich, ist das bei der Benutzung der Abkürzung immer so?

Comments

" Wenn man die Abkürzung a_n→L benutzt, gegen welchen Wert läuft dann "n"? Gegen unendlich, ist das bei der Benutzung der Abkürzung immer so? "

Wenn von konvergenten Folgen (a_(n)) die Rede ist, ist immer n-> unendlich gemeint.

Für reelle Funktionen gibt es mehrere äquivalente Definitionen der Stetigkeit an einer Stelle. Das hier Behauptete ist im Prinzip eine davon.

https://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit#Stetigkeit_reeller_Funktionen 

Schau erst mal nach, welche Definition ihr benutzt und versuche dann daraus die Behauptung hier herzuleiten.

Answer 1

Da f stetig an der Stelle des Grenzwertes ist, muss dort lim_x→L f(x) existieren und gleich dem Funktionswert f(L) an dieser Stelle sein, also muss auch  f(lim_n→∞a_n )→L bzw. f(a_n )→L

Wenn das eure Definition ist, ist ja nichts zu beweisen.

Das ist die gleiche Aussage. Ich vermute mal ihr habt die

epsilon- delta Definition.

Zu jedem eps > 0 gibt es ein delta >0 mit

| x - L | < delta ⇒   | f(x) - f(L) | < eps         #
für alle x aus dem Definitionsbereich. 

und du hast ja schon notiert:  Zu jedem eps>0
existiert ein N<=n für das gilt: | a_n -L|< ε    ##

Zu zeigen ist dann :
Es existiert ein N<=n für das gilt: | f(a_n ) - f(L) |< ε 

Sei also eps>0  und   a_n eine Folge mit :
 es existiert ein N<=n für das gilt: | a_n -L|< ε 

wegen #  gibt es ein delta mit 
| x - L | < delta ⇒   | f(x) - f(L) | < eps    ###
 
zu diesem Delta gibt es wegen ## dann
ein N mit   N<=n für das gilt: | a_n -L|< δ

und gemäß ### gilt also für     N<=n
dann      | f(a_n) - f(L) | < eps  .         q.e.d.