Zeigen Sie, dass die Funktion f(x) in 0 stetig ergänzbar ist und berechnen Sie die stetige Ergänzung.

Question

Aufgabe: Zeigen Sie, dass die Funktion f(x) in 0 stetig ergänzbar ist und berechnen Sie die stetige Ergänzung.

Problem/Ansatz: Hat jemand eine Idee zu dieser Aufgabe?

Gegeben sei die Funktion \( f:[-1,1] \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( f(x)=\frac{1-\sqrt{1-x^{2}}}{x^{2}} . \)
Zeigen Sie, dass \( f(x) \) in 0 stetig ergänzbar ist und berechnen Sie die stetige Ergänzung.

Comments

Tipp: Für alle \(x\) aus dem Definitionsbereich gilt \(f(x)=\dfrac1{1+\sqrt{1-x^2}}\).

Answer 1

Wende den L'Hospital an!

Comments

Ich hab dadurch nich lösen können. Können Sie bitte deutlicher erklären? Wenn ich L`hospital anwende und durch x einfach -1 oder 1 ersetze dann kommt wieder 0 raus.

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L'Hospital anwenden, kürzen, dann 0 einsetzen

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Warum 0 ? 0 ist ja außer der Definitionsbereich.

Answer 2

Erweitere den Bruch mit \(1+\sqrt{1-x^2}\), dann kommst du auf
auf Arsinos Ausdruck,der eine stetige Fortsetzung darstellt.

de L'Hospital halte ich für zu aufwendig ...