Zeigen Sie, dass die Funktion f(x) in 0 stetig ergänzbar ist und berechnen Sie die stetige Ergänzung.

Question

Aufgabe: Zeigen Sie, dass die Funktion f(x) in 0 stetig ergänzbar ist und berechnen Sie die stetige Ergänzung.

Problem/Ansatz: Hat jemand eine Idee zu dieser Aufgabe?

Gegeben sei die Funktion $f:[-1,1] \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ mit
$f(x)=\frac{1-\sqrt{1-x^{2}}}{x^{2}} .$
Zeigen Sie, dass $f(x)$ in 0 stetig ergänzbar ist und berechnen Sie die stetige Ergänzung.

Comments

Tipp: Für alle $x$ aus dem Definitionsbereich gilt $f(x)=\dfrac1{1+\sqrt{1-x^2}}$.

Answer 1

Wende den L'Hospital an!

Comments

Ich hab dadurch nich lösen können. Können Sie bitte deutlicher erklären? Wenn ich L`hospital anwende und durch x einfach -1 oder 1 ersetze dann kommt wieder 0 raus.

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L'Hospital anwenden, kürzen, dann 0 einsetzen

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Warum 0 ? 0 ist ja außer der Definitionsbereich.

Answer 2

Erweitere den Bruch mit $1+\sqrt{1-x^2}$, dann kommst du auf
auf Arsinos Ausdruck,der eine stetige Fortsetzung darstellt.

de L'Hospital halte ich für zu aufwendig ...