Zeigen Sie, dass die folgenden Funktionen stetig ergänzbar sind

Question

ich habe Probleme bei dieser Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die folgenden Funktionen stetig ergänzbar sind:

a) f: C\ {0} → C, f(z) = \( \frac{e^z-1}{z} \) an der Stelle x₀=0

b) f: R\ {x₁,x₂} -->R, g(x)= \( \frac{x^4+x^3-3x^2-x+2}{x^2-1} \) an den Stellen x1 und x2. Bestimmen Sie zunächst x₁ und x₂.

Ich habe die stetige Ergänzbarkeit nicht gut verstanden, also bitte euch um eine Step-by-Step Losung!

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Vom Duplikat:

Titel: Stetigkeit in den complexen

Stichworte: stetigkeit,funktion,stetig,komplexe-zahlen

Hallo ich habe Probleme diese Aufgabe zu Lösen. Können Sie bitte Schritt für Schritt die Lösung schreiben?

Answer 1

a) \( \frac{e^z-1}{z}=\frac{-1+\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}}{z} =-\frac{1}{z}+\sum_{k=0}^\infty \frac{z^{k-1}}{k!}=\sum_{k=0}^\infty \frac{z^{k}}{(k+1)!}\)

Die rechte Seite ist nun auch für z=0 stetig definiert.

b) Offensichtlich x1 =1, x2=-1. Mit der Polynomdivision schließen wir

\(x^4+x^3-3x^2-x+2=(x+2)(x+1)(x-1)^2\) und bemerken \(x^2-1=(x+1)(x-1)\). Somit

\( g(x)=\frac{(x+2)(x+1)(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}=(x+2)(x-1)\) die rechte Seite lässt auch die Argumente x1 und x2 zu, sodass Stetigkeit erhalten bleibt.

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Vielen Dank! Ich habe endlich verstanden

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Viel Erfolg :)

Answer 2

Hallo

Nicht ohne dass du selbst was tust, und dann sagst, wo du scheiterst.

Hast du die 2 Hinweise denn benutzt? die führen direkt zum Ziel. Was besseres kann dir auch hier niemand raten.Statt Polynomdivision kannst du auch feststellen, dass Zähler und Nenner die gleichen Nullstellen +-1 haben.

Gruß lul

Answer 3

Zeige, dass die Funktion an der Definitionslücke einen Grenzwert hat. Hast du Grenzwert verstanden?

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Ja. Die Grenzwert existiert wenn die Grenzwert von recht und von links gleich sind. Bei a) ist die Grenzwert 1. Aber ich bin nicht ganz sicher dass das reicht um die stetig Ergänzbarkeit zu zeigen.
Der Hinweis der Aufgabe lautet:

"Benutzen Sie im Teil (a) die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion.
Denken Sie im Teil (b) an Polynomdivision."

Wie soll ich sie verwenden??

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Bei a) ist die Grenzwert 1.

Also ist die Funktion dort stetig ergänzbar.